【題目】如圖,矩形ABCD(AB>AD)中,點(diǎn)M是邊DC上的一點(diǎn),點(diǎn)P是射線CB上的動(dòng)點(diǎn),連接AM,AP,且∠DAP=2∠AMD.
(1)若∠APC=76°,則∠DAM= ;
(2)猜想∠APC與∠DAM的數(shù)量關(guān)系為 ,并進(jìn)行證明;
(3)如圖1,若點(diǎn)M為DC的中點(diǎn),求證:2AD=BP+AP;
(4)如圖2,當(dāng)∠AMP=∠APM時(shí),若CP=15,=時(shí),則線段MC的長(zhǎng)為 .
【答案】(1)38°;(2)∠APC=2∠DAM,證明見(jiàn)解析;(3)見(jiàn)解析;(4)3.
【解析】
(1)由AD∥CP,∠APC=76°知∠DAP=104°,根據(jù)∠DAP=2∠AMD得∠AMD=52°,結(jié)合∠D=90°可得;
(2)由AD∥CP知∠DAP+∠APC=180°,結(jié)合∠DAP=2∠AMD得2∠AMD+∠APC=180°,再結(jié)合∠D=90°知∠AMD=90°﹣∠DAM,即2(90°﹣∠DAM)+∠APC=180°,據(jù)此可得;
(3)延長(zhǎng)AM交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,延長(zhǎng)BP到F,使PF=AP,連接AF,證△AMD≌△EMC得AD=CE,據(jù)此知BE=BC+CE=2AD,再證∠E=∠F得AE=AF,由AB⊥BE知BE=BF,從而由BF=BP+PF=BP+AP可得;
(4)延長(zhǎng)MD到點(diǎn)E,使DE=MD,連接AE,作EF⊥MA,設(shè)AM=3x,則AD=2x,DM=DEx,AE=AP=3x,證△ADM∽△EFM得,求得EFx,AFx,再證△EAF≌△APB得PB=AFx,再由AD=BC得x+15=2x,求得x的值,從而得出AB的長(zhǎng),根據(jù)MC=DC﹣DM=AB﹣DM可得答案.
(1)∵AD∥CP,∠APC=76°,
∴∠DAP=104°.
∵∠DAP=2∠AMD,
∴∠AMD=52°,
又∵∠D=90°,
∴∠DAM=38°.
故答案為:38°;
(2)∠APC=2∠DAM.理由如下:
∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠D=90°,AD∥BC.
∵點(diǎn)P是射線CB上的點(diǎn),
∴AD∥CP,
∴∠DAP+∠APC=180°.
∵∠DAP=2∠AMD,
∴2∠AMD+∠APC=180°,
在Rt△AMD中,∠D=90°,
∴∠AMD=90°﹣∠DAM,
∴2(90°﹣∠DAM)+∠APC=180°,
∴∠APC=2∠DAM.
故答案為:∠APC=2∠DAM;
(3)如圖1,延長(zhǎng)AM交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,延長(zhǎng)BP到F,使PF=AP,連接AF,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,AD=BC,∠ABC=90°,
∴AD∥BE,AB⊥BE,
∴∠DAM=∠E.
∵M是DC中點(diǎn),
∴DM=CM,
又∵∠1=∠2,
∴△AMD≌△EMC(AAS),
∴AD=CE,
∴BE=BC+CE=2AD.
∵∠APC=2∠DAM,
∴∠APC=2∠E.
∵PA=PF,
∴∠PAF=∠F,
∴∠APC=2∠F,
∴∠E=∠F,
∴AE=AF,
又∵AB⊥BE,
∴BE=BF,
又∵BF=BP+PF=BP+AP,
∴2AD=BP+AP;
(4)如圖2,延長(zhǎng)MD到點(diǎn)E,使DE=MD,連接AE,過(guò)點(diǎn)E作EF⊥MA于點(diǎn)F,
設(shè)AM=3x,則AD=2x,DM=DEx,AE=AP=3x.
∵∠AMD=∠EMF,∠ADM=∠EFM=90°,
∴△ADM∽△EFM,
∴,即,
解得:EFx,
∴AFx.
∵DE=MD,AD⊥CE,
∴∠AME=∠AEM,
則∠EAF=2∠AMD.
∵AD∥BC,∠DAP=2∠AMD,
∴∠APB=∠DAP=2∠AMD,
∴∠EAF=∠APB,
又∵∠EFA=∠B=90°,AE=AP,
∴△EAF≌△APB(AAS),
∴PB=AFx,
由AD=BC得x+15=2x,
解得:x=9,
∴AB12,
∴MC=DC﹣DM=AB﹣DM==3.
故答案為:3.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知一張正方形ABCD紙片,邊長(zhǎng)AB=2,按步驟進(jìn)行折疊,如圖1,先將正方形紙片ABCD對(duì)折,得到折痕EF;再折出矩形BCFE的對(duì)角線BF.
(1)如圖2,將CF邊折到BF上,得到折痕FM,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C',求CM的長(zhǎng).
(2)如圖3,將AB邊折到BF上,得到折痕BN,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A',求AN的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】八年級(jí)一班開展了“讀一本好書”的活動(dòng),班委會(huì)對(duì)學(xué)生閱讀書籍的情況進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查,問(wèn)卷設(shè)置了“小說(shuō)”、“戲劇”、“散文”、“其他”四個(gè)類別,每位同學(xué)僅選一項(xiàng),根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了不完整的頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計(jì)圖.根據(jù)圖表提供的信息,回答下列問(wèn)題:
類別 | 頻數(shù)(人數(shù)) | 頻率 |
小說(shuō) | 0.5 | |
戲劇 | 4 | |
散文 | 10 | 0.25 |
其他 | 6 | |
合計(jì) | m | 1 |
(1)計(jì)算m= ;
(2)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,“其他”類所占的百分比為 ;
(3)在調(diào)查問(wèn)卷中,甲、乙、丙、丁四位同學(xué)選擇了“戲劇”類,現(xiàn)從中任意選出2名同學(xué)參加學(xué)校的戲劇社團(tuán),請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法,求選取的2人恰好是乙和丙的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,以AC為斜邊的等腰直角三角形AEC的邊CE,與AD交于點(diǎn)F,連接OE,使得OE=OD.在AD上截取AH=CD,連接EH,ED.
(1)判斷四邊形ABCD的形狀,并說(shuō)明理由;
(2)若AB=1,BC=3,求EH的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有4張看上去無(wú)差別的卡片,上面分別寫著1,2,3,4.
(1)一次性隨機(jī)抽取2張卡片,求這兩張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率;
(2)隨機(jī)摸取1張后,放回并混在一起,再隨機(jī)抽取1張,求兩次取出的卡片上的數(shù)字之和等于4的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】受到“新型肺炎”影響,全國(guó)中小學(xué)未能按時(shí)開學(xué),為響應(yīng)國(guó)家“停課不停學(xué)”的號(hào)召,重慶某重點(diǎn)中學(xué)組織全校師生開展線上教學(xué)活動(dòng),體育備課組也為同學(xué)們提出了每日鍛煉建議.疫情過(guò)去開學(xué)后,體育組彭老師為檢測(cè)同學(xué)們?cè)诩义憻捛闆r,在甲、乙兩班同學(xué)中各隨機(jī)抽取名學(xué)生進(jìn)行檢測(cè),并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了整理、分析.下面給出了部分信息:
甲班
乙班成績(jī)?cè)?/span>中的數(shù)據(jù)是
整理數(shù)據(jù):
成績(jī) 班級(jí) | ||||
甲 | ||||
乙 |
分析數(shù)據(jù):
班級(jí) | 平均數(shù) | 中位數(shù) | 眾數(shù) |
甲 | |||
乙 |
根據(jù)以上信息,回答下列問(wèn)題:
根據(jù)以上數(shù)據(jù),你認(rèn)為哪個(gè)班級(jí)在家體育鍛煉的效果比較好,請(qǐng)說(shuō)明理由(條理由即可).
已知九年級(jí)共有名學(xué)生,請(qǐng)估計(jì)全年級(jí)體育成績(jī)大于等于分的學(xué)生有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)(﹣1,0),(0,﹣3),(2,3)三點(diǎn).
(1)求這條拋物線的表達(dá)式;
(2)寫出拋物線的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A、B、E在同一直線上,∠FEB=∠ACB=90°,AC=BC,EB=EF,連AF,CE交于點(diǎn)H,AF、CB交于點(diǎn)D,若tan∠CAD=,則=( )
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】新冠肺炎疫情期間,某小區(qū)計(jì)劃購(gòu)買甲、乙兩種品牌的消毒劑,乙品牌消毒劑每瓶的價(jià)格比甲品牌消毒劑每瓶?jī)r(jià)格的3倍少50元,已知用300元購(gòu)買甲品牌消毒劑的數(shù)量與用400元購(gòu)買乙品牌消毒劑的數(shù)量相同.
(1)求甲、乙兩種品牌消毒劑每瓶的價(jià)格各是多少元?
(2)若該小區(qū)從超市一次性購(gòu)買甲、乙兩種品牌的消毒劑共40瓶,且總費(fèi)用為1400元,求購(gòu)買了多少瓶乙品牌消毒劑?
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