Question

【題目】如圖，已知拋物線y=－x2+bx+c與x軸交于點A(－1,0)和點B(3,0)，與y軸交于點C，連接BC交拋物線的對稱軸于點E，D是拋物線的頂點．

（1）求此拋物線的解析式.

（2）若點P在第一象限內(nèi)的拋物線上，且S△PAB=S△OEB，求點P的橫坐標(biāo)．

（3）將△OBE以點B為中心順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角等于2∠OBC，設(shè)點E的對應(yīng)點為點E'，點O的對應(yīng)點為點O'，求直線O'E'與拋物線的交點坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），.

【解析】

（1）將A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數(shù)b、c的值，進(jìn)而可得到拋物線的解析式；

（2）設(shè)P點坐標(biāo)表示出S△PAB，利用B、C點坐標(biāo)求出BC對應(yīng)的表達(dá)式，從而求出E點坐標(biāo)，表示出S△OEB，最后利用S△PAB=S△OEB建立方程求解即可；

（3）先根據(jù)∠OBC=45°算出旋轉(zhuǎn)角，畫出圖形后，利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得到O'坐標(biāo)，利用△EMB≌△E'NB，可得到E'坐標(biāo)，從而求出直線表達(dá)式，最后聯(lián)立二次函數(shù)表達(dá)式求交點即可.

解：（1）由點A（－1，0）和點B（3，0）得，解得：，

∴拋物線的解析式為；

（2）令x=0，則y=3，∴C（0，3），

∵，

∴D（1，4）；

設(shè)線段BC所在直線的表達(dá)式為，代入B（3，0），C（0，3）求得：，

令x=1，則y=－1+3=2，

∴E（1，2），

設(shè)P（x，y）（x＞0，y＞0），則，，

∵S△PAB=S△OEB，

∴2y=3

∴，即，

解得：，（不合題意，舍去），

∴點P橫坐標(biāo)為；

（3）由B（3，0），C（0，3）知，OC=OB，即△OBC為等腰直角三角形，

∴∠OBC=45°，

∴旋轉(zhuǎn)角為90°，∠EBE'=90°，如圖所示，

∴∠EBM=∠E'BN=45°，

又∠EMB=∠BNE'=90°，BE=BE'

∴△EMB≌△E'NB

∴E'N=EM=2，NB=MB=2，

∴E'（5，2）

∵O'B=OB=3，

∴O'（3，3），

根據(jù)E'（5，2），O'（3，3），求得直線O'E'的解析式為：，

聯(lián)立，得：，解得：，

∴交點坐標(biāo)為.