Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以點(diǎn)C為圓心作弧，分別交AC、CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D、F，連結(jié)DF，交AB于點(diǎn)E，已知S_△BEF=9，S_△CDF=40，tan∠DFC=2，則BC=

 

，S_△ABC=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,解直角三角形

專(zhuān)題：

分析：由在Rt△ABC中，∠ABC=90°，tan∠DFC=2，可得BE=2BF，又由S_△BEF=9，即可求得BF與BE的長(zhǎng)，然后過(guò)點(diǎn)C作CH⊥DF于點(diǎn)H，設(shè)DH=h，可求得h的值，繼而由勾股定理求得BC的長(zhǎng)；
首先過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BC于點(diǎn)M，利用三角形的面積求得DM的長(zhǎng)，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得AB的長(zhǎng)，繼而求得答案．

解答：解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，tan∠DFC=2，
∴

BE

BF

=2，
即BE=2BF，
∵S_△BEF=9，
∴

1

2

BF•BE=9，
∴BF=3，BE=6，
過(guò)點(diǎn)C作CH⊥DF于點(diǎn)H，設(shè)DH=h，
∵CD=CF，
∴DH=FH，
∵tan∠DFC=2，CD=CF，
∴CH：FH=2，
∴DF=2h，
∵S_△CDF=40，
∴

1

2

DF•h=

1

2

h²=40，
解得：h=2

5

，
∴DF=4

5

，
∴FC=

(2 5 )2+(4 5 )2

 =10，
∴BC=10-3=7．

過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BC于點(diǎn)M，
∵S_△CDF=

1

2

FC•DM=

1

2

DF•CH，
∴DM=

DF•CH

FC

4 5 ×4 5

10

=8，
∵tan∠DFC=

DM

FM

=2，
∴FM=4，
∴CM=FC-FM=6，
∵∠ABC=∠DMC=90°，∠ACB=∠DCM，
∴△ABC∽△DMC，
∴AB：DM=BC：MC，
即

AB

8

=

7

6

，
解得：AB=

28

3

，
∴S_△ABC=

1

2

AB•BC=

98

3

．
故答案為：7，

98

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及三角函數(shù)的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線(xiàn)的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．