【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,拋物線y=﹣(x+1)2+4與x軸交于點A、B,與y軸交于點C.

(1)寫出拋物線頂點D的坐標(biāo)   

(2)點D1是點D關(guān)于y軸的對稱點,判斷點D1是否在直線AC上,并說明理由;

(3)若點E是拋物線上的點,且在直線AC的上方,過點E作EF⊥x軸交線段AC于點F,求線段EF的最大值.

【答案】(1) (﹣1,4);(2)見解析;(3) 2.25.

【解析】

1)根據(jù)二次函數(shù)的解析式直接寫出即可;

2)先根據(jù)二次函數(shù)求出A、C的坐標(biāo),再用待定系數(shù)法確定直線AC的關(guān)系式,再求出

D1,把它代入直線判斷是否再直線上;

3)設(shè)點Ex,﹣x22x+3),Fx,x+3),則EF=(﹣x22x+3)﹣(x+3)=﹣x23x=﹣(x+1.52+2.25, 則可知x=-1.5時,EF的最大值2.25.

解:(1∵y=﹣(x+12+4,

拋物線頂點D的坐標(biāo)是(﹣1,4).

故答案為(﹣14);

(2)點D1在直線AC上,理由如下:

拋物線y=﹣(x+12+4x軸交于點A、B,與y軸交于點C,

當(dāng)y0時,﹣(x+12+40,解得x1或﹣3A(﹣3,0),B1,0),

當(dāng)x0時,y=﹣1+43,C0,3).

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,

由題意得,解得

直線AC的解析式為yx+3

D1是點D關(guān)于y軸的對稱點,D(﹣1,4).

∴D114),

∵x1時,y1+34,

D1在直線AC上;

3)設(shè)點Ex,﹣x22x+3),則Fx,x+3),

∵EF=(﹣x22x+3)﹣(x+3)=﹣x23x=﹣(x+1.52+2.25,

線段EF的最大值是2.25

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