Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－1，0)，點(diǎn)B(3，0)和點(diǎn)C(0，3)．

(1)求拋物線的解析式和頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)C是否在以BE為直徑的圓上?請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)點(diǎn)Q是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)R是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)Q、R，使以Q、R、C、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)Q、R的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝－x2＋2x＋3，E (1，4)；（2）在；（3）Q1(1，－2)，R1(4，－5)；

Q2(1，－8)，R2(－2，－5)；R3(2，3)，Q3(1，0)．

【解析】試題分析：（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可得出函數(shù)關(guān)系式，然后進(jìn)行配方即可得出頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）過(guò)點(diǎn)E分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別F、G．易證△BCE為直角三角形，點(diǎn)C在以BE為直徑的圓上；

（3）利用平行四邊形的性質(zhì)易得點(diǎn)Q、R的坐標(biāo).

試題解析： (1) 將A(－1，0)，B(3，0)和C(0，3)代入y=ax2＋bx＋c

得

解得

∴拋物線的解析式為y=－x2＋2x＋3，

∵y=－x2＋2x＋3=-（x-1）2+4，

∴頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1，4)．

(2)點(diǎn)C在以BE為直徑的圓上，理由如下：

如圖，過(guò)點(diǎn)E分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別F、G．

在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，∴BC2=18

在Rt△CEG中，EG=1，CG=OG－OC=4－3=1，∴CE2=2

在Rt△BFE中，FE=4，BF=OB－OF=3－1=2， ∴BE2=20

∴BC2＋CE2=BE2

故△BCE為直角三角形，點(diǎn)C在以BE為直徑的圓上．

(3)存在，點(diǎn)Q、R的坐標(biāo)分別為Q1(1，－2)，R1(4，－5)；

Q2(1，－8)，R2(－2，－5)；R3(2，3)，Q3(1，0)．