Question

【題目】已知：如圖，BC為⊙O的弦，點(diǎn)A為⊙O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△OBC的周長(zhǎng)為16．過(guò)C作CD∥AB交⊙O于D，BD與AC相交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB交于Q，設(shè)∠A的度數(shù)為α．

（1）如圖1，求∠COB的度數(shù)（用含α的式子表示）；

（2）如圖2，若∠ABC＝90°時(shí)，AB＝8，求陰影部分面積（用含α的式子表示）；

（3）如圖1，當(dāng)PQ＝2，求的值．

Answer 1

【答案】（1）∠COB＝2α；（2）陰影部分面積＝；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)圓周角定理可得∠COB＝2∠A＝2α；

（2）當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，可得點(diǎn)P與圓心O重合，根據(jù)△OBC的周長(zhǎng)為16以及AB＝8，可求得⊙O的半徑為5，可得出扇形COB的面積以及△OBC的面積，進(jìn)而得出陰影部分面積；

（3）由CD∥AB∥PQ，可得△BPQ∽△BDC，△CPQ∽△CAB，即，兩式子相加可得，即可得出的值．

解：（1）∵∠A的度數(shù)為α，

∴∠COB＝2∠A＝2α，

（2）當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，AC為⊙O的直徑，

∵CD∥AB，

∴∠DCB＝180°﹣90°＝90，

∴BD為⊙O的直徑，

∴P與圓心O重合，

∵PQ∥AB交于Q，

∴OQ⊥BC，

∴CQ＝BQ，

∵AB＝8，

∴OQ＝AB＝4，

設(shè)⊙O的半徑為r，

∵△OBC的周長(zhǎng)為16，

∴CQ＝8﹣r，

∴（8﹣r）2+42＝r2，

解得r＝5，CB＝6，

∴陰影部分面積＝；

（3）∵CD∥AB∥PQ，

∴△BPQ∽△BDC，△CPQ∽△CAB，

∴，

∴，

∵PQ＝2，

∴，

∴＝2．