Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的圓交軸于點(diǎn)（在上方），則四邊形面積的最小值為__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

四邊形ADBC的面積分兩部分，是△ADC和△BDC的面積和，兩個(gè)三角形計(jì)算面積時(shí)，都以CD為底，點(diǎn)A到CD 的 距離為2，點(diǎn)B到CD 的 距離為3，這兩個(gè)高是定值，所以只有當(dāng)?shù)?/span>CD值最小時(shí)，四邊形ADBC的面積才有最小值.根據(jù)垂徑定理知，弦的垂直平分線必過(guò)圓心，所以求出過(guò)圓心和線段AB中點(diǎn)的直線l的解析式，再根據(jù)勾股定理得出關(guān)于CH的關(guān)系式，先求得CD的一半，即CH的最小值，從而求出CD 的最小值.

解：如圖：

∵，，

∴AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（ ，），AB與x軸夾角為45°，設(shè)圓心為M，

線段AB的垂直平分線l必過(guò)圓心M，解得l的解析式為y=-x+3，設(shè)圓心M的橫坐標(biāo)為a，則縱坐標(biāo)為：-a+3，即M（a，-a+3）,半徑r2=(a+2)2+(a-3)2

∴S四邊形ADBC=×OA×CD +×yB×CD=×2×CD +×3×CD=CD,

當(dāng)CD值最小時(shí)，S四邊形ADBC有最小值.

∵Rt△CMH中，由勾股定理得：CH2=CM2-MH2=(a+2)2+(a-3)2-a2=a2-2a+13=(a-1)2+12，

當(dāng)a=1時(shí)，CH2有最小值，為12，即CH=2，CD=2CH=4，

∴S四邊形ADBC最小值=×4=10 .

故答案為：10 .