【題目】如圖1,拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A(﹣1,0),B(4,0)兩點(diǎn),與y軸相交于點(diǎn)C,連接BC,點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作x軸的垂線l,交直線BC于點(diǎn)G,交x軸于點(diǎn)E.
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖1,當(dāng)P位于y軸右邊的拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí),過點(diǎn)C作CF⊥直線l,F為垂足,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),以P,C,F為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似,并直接寫出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在位于直線BC上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí), 連接PB,PC,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m, △PBC的面積為S,
①求出S與m的函數(shù)關(guān)系式;
②求出點(diǎn)P到直線BC的最大距離.
【答案】(1)y=﹣x2+3x+4;(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 (2,6)或(4,0);(3)①S=﹣2m2+8m;②點(diǎn)P到直線BC的最大距離為.
【解析】
(1)將點(diǎn)A(-1,0),B(4,0)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式,求得b、c的值即可;
(2)先由函數(shù)解析式求得點(diǎn)C的坐標(biāo),從而得到△OBC為等腰直角三角形,故此當(dāng)CF=PF時(shí),以P,C,F為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似.設(shè)P(t,-t2+3t+4)(t>0),則CF=t,構(gòu)建方程從而可求得t的值,于是可求得點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)連接EC.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,﹣m2+3m+4).則OE=m,PE=﹣m2+3m+4,EB=4﹣m.
然后依據(jù)S△PBC=S四邊形PCEB-S△CEB列出△PBC的面積與m的函數(shù)關(guān)系式,從而可求得三角形的最大面積,從而求得此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo),根據(jù)坐標(biāo)求點(diǎn)P到直線BC的最大距離為.
(1)由題意得 ,解得
∴拋物線的解析式為y=﹣x2+3x+4.
(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 (2,6)或(4,0).
(3)如圖2所示:連接EC.
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,﹣m2+3m+4).則OE=m,PE=﹣m2+3m+4,EB=4﹣m.
∵C(0,4),B(4,0),
∴直線BC的解析式為y=﹣x+4.
∵S四邊形PCEB=OBPE=×4(﹣m2+3m+4),S△CEB=EBOC=×4×(4﹣m),
∴S△PBC=S四邊形PCEB﹣S△CEB=2(﹣m2+3m+4)﹣2(4﹣m)=﹣2m2+8m.
∵a=﹣2<0,
∴當(dāng)a=2時(shí),△PBC的面積S有最大值.
∴P(2,6),△PBC的面積的最大值為8.
過點(diǎn)P作PH⊥BC于點(diǎn)H,由題意得C(0,4),D(4,0),OB=OC=4,
∴∠ABC=45°=∠EGB,∠PGH=∠EGB=45°,即△PGH是等腰直角三角形,
∵P(2,6),∴OE=2=EB=EG,PG=PE-GE=6-2=4,
∴PH=PG×sin45°=4×=.
即點(diǎn)P到直線BC的最大距離為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義:如果把一條拋物線繞它的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到的拋物線我們稱為原拋物線的“孿生拋物線”.
(1)求拋物線y=x-2x的“孿生拋物線”的表達(dá)式;
(2)若拋物線y=x-2x+c的頂點(diǎn)為D,與y軸交于點(diǎn)C,其“孿生拋物線”與y軸交于點(diǎn),請(qǐng)判斷△DCC’的形狀,并說明理由:
(3)已知拋物線y=x-2x-3與y軸交于點(diǎn)C,與x軸正半軸的交點(diǎn)為A,那么是否在其“孿生拋物線”上存在點(diǎn)P,在y軸上存在點(diǎn)Q,使以點(diǎn)A、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,若存在,求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=﹣x2+2mx﹣m2+4.
(1)求證:該二次函數(shù)的圖象與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn);
(2)若該二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),頂點(diǎn)為C,
①求△ABC的面積;
②若點(diǎn)P為該二次函數(shù)圖象上位于A、C之間的一點(diǎn),則△PAC面積的最大值為 ,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,,以為直徑作⊙,分別交、于點(diǎn)、,點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上,且.
(1)求證:與⊙相切.
(2)若,求的長(zhǎng)度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個(gè)不透明的口袋中裝有4個(gè)分別標(biāo)有數(shù)字﹣1,﹣2,3,4的小球,它們的形狀、大小完全相同.小紅先從口袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球記下數(shù)字為x;小穎在剩下的3個(gè)小球中隨機(jī)摸出一個(gè)小球記下數(shù)字為y.
(1)小紅摸出標(biāo)有數(shù)字3的小球的概率是 .
(2)請(qǐng)用樹狀圖或列表法表示出由x,y確定的點(diǎn)P(x,y)所有可能的結(jié)果;
(3)若規(guī)定:點(diǎn)P(x,y)在第一象限或第三象限小紅獲勝;點(diǎn)P(x,y)在第二象限或第四象限則小穎獲勝.請(qǐng)分別求出兩人獲勝的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A (0,2),B(﹣1,0),點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn),現(xiàn)將線段BA繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)、經(jīng)過點(diǎn)D.
(1)如圖1,若該拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O,且a=﹣1.
①求點(diǎn)D的坐標(biāo)及該拋物線的解析式;
②連結(jié)CD,問:在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得∠POB與∠BCD互余?若存在,請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由.
(2)如圖2,若該拋物線y=ax2+bx+c(a<0)經(jīng)過點(diǎn)E(﹣1,1),點(diǎn)Q在拋物線上,且滿足∠QOB與∠BCD互余,若符合條件的Q點(diǎn)的個(gè)數(shù)是4個(gè),請(qǐng)直接寫出a的取值范圍 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC 中,AB=4,D 是 AB 上的一點(diǎn)(不與點(diǎn) A、B 重合),DE∥BC,交AC 于點(diǎn) E.設(shè)△ABC 的面積為 S,△DEC 的面積為 S'.
(1)當(dāng)D是AB中點(diǎn)時(shí),求的值;
(2)設(shè)AD=x,=y,求y與x的函數(shù)表達(dá)式,并寫出自變量x的取值范圍;
(3)根據(jù)y的范圍,求S-4S′的最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC的外接圓圓心O在AB上,點(diǎn)D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),DM⊥AB于M,交AC于N,且AC=CD.CP是△CDN的邊ND上的中線.
(1)求證:AB=DN;
(2)試判斷CP與⊙O的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(3)若PC=5,CD=8,求線段MN的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,BC為⊙O的弦,點(diǎn)A為⊙O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),△OBC的周長(zhǎng)為16.過C作CD∥AB交⊙O于D,BD與AC相交于點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PQ∥AB交于Q,設(shè)∠A的度數(shù)為α.
(1)如圖1,求∠COB的度數(shù)(用含α的式子表示);
(2)如圖2,若∠ABC=90°時(shí),AB=8,求陰影部分面積(用含α的式子表示);
(3)如圖1,當(dāng)PQ=2,求的值.
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