Question

【題目】如圖，平面直角坐標(biāo)系中兩條直線OC⊥BC，垂足為C，其OC＝2cm，∠COB＝60°，反比例函數(shù)y＝的圖象過點(diǎn)C.

(1)求：反比例函數(shù)表達(dá)式和點(diǎn)B的坐標(biāo).

(2)若現(xiàn)有長為1cm的線段MN在線段OB上沿OB方向以1cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)(運(yùn)動(dòng)前點(diǎn)M與點(diǎn)O重合，N到點(diǎn)B停止運(yùn)動(dòng))，過M、N作OB的垂線分別交直線OC、BC于P、Q兩點(diǎn)，線段MN運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts.

①若△OMP的面積為S.求出當(dāng)0＜t≤1時(shí)，S與t的函數(shù)關(guān)系式.

②線段MN運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形MNQP有可能成為矩形嗎？若可能，直接寫出此時(shí)t的值；若不可能，說明理由.

Answer 1

【答案】(1)y＝，B(4，0)；(2)①S=t2；②可能，t＝.

【解析】

(1)過點(diǎn)C作CD⊥OB于點(diǎn)D，在Rt△ODC中運(yùn)用三角函數(shù)可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入y＝，就可得到反比例函數(shù)表達(dá)式，然后在Rt△OCB中運(yùn)用三角函數(shù)就可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)由題可得：OM＝t，MN＝1，ON＝t+1.①只需用t的代數(shù)式表示出PM，就可解決問題；②分別表示出PM、QN的長(用t的代數(shù)式)，根據(jù)四邊形MNQP為矩形時(shí)PM＝QN建立關(guān)于t的方程，解這個(gè)方程就可得到t的值.

解：(1)過點(diǎn)C作CD⊥OB于點(diǎn)D，如圖1.

在Rt△ODC中，

∵OC＝2，∠COD＝60°，

∴CD＝OCsin∠COD＝2×＝，

OD＝OCcos∠COD＝2×＝1，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1，).

∵反比例函數(shù)y＝的圖象過點(diǎn)C，

∴k＝1×＝，

∴反比例函數(shù)的解析式為y＝.

∵OC⊥BC，

∴cos∠COB＝，即＝，

∴OB＝4，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，0)；

(2)由題可得：OM＝1×t＝t，MN＝1，ON＝t+1.

①當(dāng)0＜t≤1時(shí)，

∵點(diǎn)C(1，2)，

∴點(diǎn)P在線段OC上，如圖2.

在Rt△OMP中，

PM＝OMtan∠POM＝t，

∴S＝OMPM＝×t×t＝t2；

②t的值為.

解題思路：求出直線OC的解析式，為y＝x；

求出直線BC的解析式，為y＝﹣x+；

從而得到PM＝t，QN＝﹣(t+1)+ ；

若四邊形MNQP是矩形，則有PM＝QN，如圖3，

則t＝﹣ (t+1)+ ，

解得：t＝，

此時(shí)點(diǎn)M、點(diǎn)N都在線段OB上，符合條件.