【題目】閱讀下面材料:小科遇到這樣一個問題:如圖1,△ABC是等邊三角形,點P是三角形內(nèi)部一點,且PA3,PB4,PC5,求∠APB的度數(shù).

小科是這樣思考的:如圖2,將AP繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到AP,連接PCPP,可以根據(jù)邊角邊證明△APB≌△APC,進而通過判定得到兩個特殊的三角形,解決問題.

1)小科遇到的問題中,∠APB的度數(shù)是 ;(請直接寫出答案)

參考小科同學(xué)的思路,解決下列問題:

2)如圖3,在正方形ABCD內(nèi)有一點P,且PA2,PB2,PD2,

①求∠APB的度數(shù);②求正方形的邊長

【答案】1150°;(2)①135°;②.

【解析】

1)把APB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到ACP′,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得P′A=PA,P′C=PB,∠PAP′=60°,證出APP′是等邊三角形,由等邊三角形的性質(zhì)求出PP′=PA=3,∠AP′P=60°,再由勾股定理逆定理求出∠PP′C=90°,求出∠AP′C,即為∠APB的度數(shù);

2)①把APB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到ADP′,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得P′A=PAP′D=PB,∠PAP′=90°,證出APP′是等腰直角三角形,由等腰直角三角形的性質(zhì)求出PP′,∠AP′P=45°,再利用勾股定理逆定理求出∠PP′D=90°,然后求出∠AP′D,即為∠APB的度數(shù);

②求出點P′、P、B三點共線,過點AAEPP′E,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AE=PE=PP′,然后求出BE,在RtABE中,利用勾股定理求出AB即可.

解:(1)如圖2,把APB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到ACP′,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),P′A=PA=3,P′D=PB=4,∠PAP′=60°,∠APB=AP′C,

∴△APP′是等邊三角形,

PP′=PA=3,∠AP′P=60°,

PP′2+P′C2=32+42=25,PC2=52=25

PP′2+P′C2=PC2,

∴∠PP′C=90°,

∴∠AP′C=AP′P+PP′C=60°+90°=150°

故∠APB=AP′C=150°;

故答案為:150°

2)①如圖3,把APB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到ADP′

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),P′A=PA=2,P′D=PB=2,∠PAP′=90°,

∴△APP′是等腰直角三角形,

PP′=PA=4,∠AP′P=45°

PP′2+P′D2=42+22=20,PD2=

PP′2+P′D2=PD2,

∴∠PP′D=90°,

∴∠AP′D=AP′P+PP′D=45°+90°=135°,

故∠APB=AP′D=135°,

②∵∠APB+APP′=135°+45°=180°,

∴點P′P、B三點共線,

過點AAEPP′E,

AE=PE=PP′=×4=2,

BE=PE+PB=2+2=4,

RtABE中,AB=

∴正方形的邊長為.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖是拋物線圖象的一部分,頂點,與軸的一個交點,直線與拋物線交于,兩點,下列結(jié)論:

;

;

③當時,有

④方程有兩個相等的實數(shù)根;

⑤代數(shù)式的值是6

其中正確的序號有( 。

A.①③④B.②④C.③⑤D.②④⑤

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(1)求:反比例函數(shù)表達式和點B的坐標.

(2)若現(xiàn)有長為1cm的線段MN在線段OB上沿OB方向以1cm/s的速度向點B運動(運動前點M與點O重合,N到點B停止運動),過M、NOB的垂線分別交直線OC、BCP、Q兩點,線段MN運動的時間為ts.

①若△OMP的面積為S.求出當0t≤1時,St的函數(shù)關(guān)系式.

②線段MN運動過程中,四邊形MNQP有可能成為矩形嗎?若可能,直接寫出此時t的值;若不可能,說明理由.

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【題目】定義:若某拋物線上有兩點A、B關(guān)于原點對稱,則稱該拋物線為完美拋物線.已知二次函數(shù)y=ax2-2mx+c(a,m,c均為常數(shù)且ac≠0)是完美拋物線”:

(1)試判斷ac的符號;

(2)若c=-1,該二次函數(shù)圖象與y軸交于點C,且SABC=1.

①求a的值;

②當該二次函數(shù)圖象與端點為M(-1,1)、N(3,4)的線段有且只有一個交點時,求m的取值范圍.

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【題目】如圖,已知直線l1l2l3l4,相鄰兩條平行線間的距離都是1,正方形ABCD的四個頂點分別在四條直線上,則正方形ABCD的面積為

A. B. 5C. 3D.

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