【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+bx+4與x軸交于A,B兩點(點A在原點左側,點B在原點右側),與y軸交于點C,已知OA=1,OC=OB.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若D(2,m)在該拋物線上,連接CD,DB,求四邊形OCDB 的面積;
(3)設E是該拋物線上位于對稱軸右側的一個動點,過點E作x軸的平行線交拋物線于另一點F,過點E作EH⊥x軸于點H,再過點F作FG⊥x軸于點G,得到矩形EFGH.在點E運動的過程中,當矩形EFGH為正方形時,求出該正方形的邊長.
【答案】(1)y=﹣x2+3x+4.;(2)16;(3)正方形的邊長為或.
【解析】
(1)先求出點C的坐標,則B的坐標即可求得,利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式;
(2)求出D的坐標,作DM⊥x軸于點E.則S四邊形OCDB=S梯形OCDM+S△BMD,利用C、D的坐標即可求出四邊形OCDB的面積;
(3)分兩種情況考慮,當點E在x軸上方和下方,根據(jù)E和F關于對稱軸對稱,然后利用正方形的性質(zhì)即可列方程求解.
解:(1)在y=ax2+bx+4中,令x=0,得y=4,則點C的坐標是(0,4).
∵OC=OB,
∴B的坐標是(4,0).
∴拋物線的解析式為y=﹣x2+3x+4.
(2)∴點D(2,m)在拋物線y=﹣x2+3x+4上,
∴﹣4+6+4=m,解得m=6.所以D(2,6).
作DM⊥x軸于點M,如圖①所示.
則S四邊形OCDB=S梯形OCDM+S△BMD=×(4+6)×2+×2×6=10+6=16.
(3)∵拋物線的解析式為y=﹣x2+3x+4,
∴拋物線的對稱軸是x=﹣.
如圖②,設點E的坐標為(x,-x2+3x+4),則點F的坐標為(3-x,-x2+3x+4),EF= x-(3-x)=2x-3.
∵四邊形EFGH是正方形,
∴EF=EH.
當E在x軸上方時,2x-3=-x2+3x+4,解得x1=,x2=(舍去)
∴EF=;當E在x軸下方時,2x-3=-(-x2+3x+4),解得x1=,x2=(舍去).
∴EF=.所以正方形的邊長為或.
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【題目】如圖,平面直角坐標系中兩條直線OC⊥BC,垂足為C,其OC=2cm,∠COB=60°,反比例函數(shù)y=的圖象過點C.
(1)求:反比例函數(shù)表達式和點B的坐標.
(2)若現(xiàn)有長為1cm的線段MN在線段OB上沿OB方向以1cm/s的速度向點B運動(運動前點M與點O重合,N到點B停止運動),過M、N作OB的垂線分別交直線OC、BC于P、Q兩點,線段MN運動的時間為ts.
①若△OMP的面積為S.求出當0<t≤1時,S與t的函數(shù)關系式.
②線段MN運動過程中,四邊形MNQP有可能成為矩形嗎?若可能,直接寫出此時t的值;若不可能,說明理由.
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【題目】我國古代數(shù)學著作《九章算術》中記載了一個問題:“今有邑方不知大小,各開中門,出北門三十步有木,出西門七百五十步見木,問:邑方幾何?” .其大意是:如圖,一座正方形城池,A為北門中點,從點A往正北方向走30步到B出有一樹木,C為西門中點,從點C往正西方向走750步到D處正好看到B處的樹木,求正方形城池的邊長.
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【題目】如圖,把一張長,寬的矩形硬紙板的四周各剪去一個同樣大小的正方形,再折合成一個無蓋的長方體盒子(紙板的厚度忽略不計).
(1)要使長方體盒子的底面積為,求剪去的正方形的邊長;
(2)你覺得折合而成的長方體盒子的側面積會不會有更大的情況?如果有,請求出側面積的最大值和此時剪去的正方形的邊長;如果沒有,請你說明理由.
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【題目】在校園文化藝術節(jié)中,九年級一班有1名男生和2名女生獲得美術獎,另有2名男生和2名女生獲得音樂獎.
(1)從獲得美術獎和音樂獎的7名學生中選取1名參加頒獎大會,求剛好是男生的概率;
(2)分別從獲得美術獎、音樂獎的學生中各選取1名參加頒獎大會,用列表或樹狀圖求剛好是一男生一女生的概率.
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【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,則下列結論 ①a+b+c<0②a﹣b+c<0③b+2a<0④abc>0⑤b2<4ac,其中正確的個數(shù)是( )
A.1個B.2個C.3個D.4個
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【題目】已知關于x的一元二次方程(m+1)x2﹣(m+3)x+2=0.
(1)證明:當m≠﹣1時,方程總有實數(shù)根;
(2)m為何整數(shù)時,方程有兩個不相等的正整數(shù)根.
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【題目】如圖,一枚質(zhì)地均勻的正四面體骰子,它有四個面并分別標有數(shù)字,,,,如圖,正方形頂點處各有一個圈.跳圈游戲的規(guī)則為:游戲者每擲一次骰子,骰子著地一面上的數(shù)字是幾,就沿正方形的邊順時針方向連續(xù)跳幾個邊長.如:若從圖起跳,第一次擲得,就順時針連續(xù)跳個邊長,落到圈;若第二次擲得,就從開始順時針連續(xù)跳個邊長,落到圈;設游戲者從圈起跳.
()嘉嘉隨機擲一次骰子,求落回到圈的概率.
()淇淇隨機擲兩次骰子,用列表法求最后落回到圈的概率,并指出她與嘉嘉落回到圈的可能性一樣嗎?
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【題目】已知某二次函數(shù)圖象的頂點坐標為(1,-4),且經(jīng)過點C(0,-3)
(1)求這個二次函數(shù)的表達式;
(2)求圖象與x軸交點A、B兩點的坐標(A在點B的左邊)及△ABC的面積.
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