【題目】如圖,在△ABC中,BA=BC,以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E,BC的延長(zhǎng)線于⊙O的切線AF交于點(diǎn)F.
(1)求證:∠ABC=2∠CAF;
(2)若AC=2,CE:EB=1:4,求CE的長(zhǎng).
【答案】(1)見解析;(2)CE=2.
【解析】
(1)首先連接BD,由AB為直徑,可得∠ADB=90°,又由AF是⊙O的切線,易證得∠CAF=∠ABD.然后由BA=BC,證得:∠ABC=2∠CAF;
(2)首先連接AE,設(shè)CE=x,由勾股定理可得方程:(2)2=x2+(3x)2求得答案.
(1)證明:如圖,連接BD.
∵AB為⊙O的直徑,
∴∠ADB=90°,
∴∠DAB+∠ABD=90°.
∵AF是⊙O的切線,
∴∠FAB=90°,
即∠DAB+∠CAF=90°.
∴∠CAF=∠ABD.
∵BA=BC,∠ADB=90°,
∴∠ABC=2∠ABD.
∴∠ABC=2∠CAF.
(2)解:如圖,連接AE,
∴∠AEB=90°,
設(shè)CE=x,
∵CE:EB=1:4,
∴EB=4x,BA=BC=5x,AE=3x,
在Rt△ACE中,AC2=CE2+AE2,
即(2)2=x2+(3x)2,
∴x=2.
∴CE=2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與軸交于、兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)),與軸交于點(diǎn).對(duì)稱軸為直線,點(diǎn)在拋物線上.
(1)如圖1,為直線下方拋物線上的一點(diǎn),連接、.當(dāng)的面積最大時(shí),在直線上取一點(diǎn),過作軸的垂線,垂足為點(diǎn),連接,.若時(shí),求的值;
(2)將拋物線沿軸正方向平移得到新拋物線,經(jīng)過原點(diǎn).與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為.設(shè)是拋物線上任意一點(diǎn),點(diǎn)在直線上,能否成為以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形?若能、直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo),若不能,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,已知拋物線y=x2+mx+m﹣1的頂點(diǎn)為D,交y軸于C點(diǎn),交x軸于A(x1,0),B(x2,0)兩點(diǎn),點(diǎn)A在y軸左邊,點(diǎn)B在y軸右邊,且AB=4.
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖1,AP⊥AD交拋物線于P.求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)如圖2,點(diǎn)H為B,D之間拋物線上一點(diǎn),直線CH交BD于E,交x軸于F,若S△CDE=S△BEF,求H點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1中, ,點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以的速度沿折線運(yùn)動(dòng),點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以的速度沿運(yùn)動(dòng),兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),當(dāng)某一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí),兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為,的面積為),關(guān)于的函數(shù)圖象由兩段組成,如圖2所示,有下列結(jié)論:①;②:③圖象段的函數(shù)表達(dá)式為;④面積的最大值為8,其中正確的個(gè)數(shù)有( )個(gè)
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,拋物線y=ax2+(a+3)x+3(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(4,0),與y軸交于點(diǎn)B,在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)E(m,0)(0<m<4),過點(diǎn)E作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)N,交拋物線于點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M.
(1)求a的值和直線AB的函數(shù)表達(dá)式;
(2)設(shè)△PMN的周長(zhǎng)為C1,△AEN的周長(zhǎng)為C2,若,求m的值;
(3)如圖2,在(2)條件下,將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OE′,旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α<90°),連接AE′、BE′,求AE′+BE′的最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某水果店在兩周內(nèi),將標(biāo)價(jià)為10元/斤的某種水果,經(jīng)過兩次降價(jià)后的價(jià)格為8.1元/斤,并且兩次降價(jià)的百分率相同.
(1)求該種水果每次降價(jià)的百分率;
(2)從第一次降價(jià)的第1天算起,第天(為整數(shù))的售價(jià)、銷量及儲(chǔ)存和損耗費(fèi)用的相關(guān)信息如表所示.
時(shí)間(天) | ||
售價(jià)(元/斤) | 第1次降價(jià)后的價(jià)格 | 第2次降價(jià)后的價(jià)格 |
銷量(斤) | ||
儲(chǔ)存和損耗費(fèi)用(元) |
已知該種水果的進(jìn)價(jià)為4.1元/斤,設(shè)銷售該水果第(天)的利潤(rùn)為(元),求與()之間的函數(shù)解析式,并求出第幾天時(shí)銷售利潤(rùn)最大.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于 A,B 兩點(diǎn),與 x 軸相交于點(diǎn) C.已知 tan∠BOC=,點(diǎn) B 的坐標(biāo)為(m,n).
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)求△AOB的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義:將函數(shù)C1的圖象繞點(diǎn)P(m,0)旋轉(zhuǎn)180°,得到新的函數(shù)C2的圖象,我們稱函數(shù)C2是函數(shù)C1關(guān)于點(diǎn)P的相關(guān)函數(shù)。例如:當(dāng)m=1時(shí),函數(shù)y=(x-3)2+9關(guān)于點(diǎn)P(1,0)的相關(guān)函數(shù)為y=-(x+1)2-9.
(1)當(dāng)m=0時(shí),
①一次函數(shù)y=-x+7關(guān)于點(diǎn)P的相關(guān)函數(shù)為_______;
②點(diǎn)A(5,-6)在二次函數(shù)y=ax2-2ax+a(a≠0)關(guān)于點(diǎn)P的相關(guān)函數(shù)的圖象上,求a的值;
(2)函數(shù)y=(x-2)2+6關(guān)于點(diǎn)P的相關(guān)函數(shù)是y= -(x-10)2-6,則m=_______
(3)當(dāng)m-1≤x≤m+2時(shí),函數(shù)y=x2-6mx+4m2關(guān)于點(diǎn)P(m,0)的相關(guān)函數(shù)的最大值為8,求m的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,∠B=60°,點(diǎn)P是△ACD內(nèi)一點(diǎn),連接PA、PC、PD,若PA=5,PD=12,PC=13,則ACBD=_____.
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