【題目】已知△ABC的一條邊BC的長為5,另兩邊AB,AC的長分別為關(guān)于x的一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根。
(1)求證:無論k為何值,方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根;
(2)當(dāng)k=2時,請判斷△ABC的形狀并說明理由;
(3)k為何值時,△ABC是等腰三角形,并求△ABC的周長。
【答案】(1)見解析;(2)△ABC為直角三角形,見解析;(3)當(dāng)k=4時,△ABC是等腰三角形,△ABC的周長=16;當(dāng)k=3時,△ABC是等腰三角形,△ABC的周長=14.
【解析】
(1)根據(jù)根的判別式即可求出答案;
(2)將k的值代入原方程并求解后,根據(jù)勾股定理逆定理即可求出答案;
(3)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求出k的值.
(1)△=(2k+3)2-4(k2+3k+2)=1>0,
∴無論k為何值,方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根;
(2)當(dāng)k=2時,
∴原方程化為:x2-7x+12=0,
解得:x=3或x=4,
∴32+42=52,
∴△ABC是直角三角形;
(3)當(dāng)BC是等腰三角形的腰時,
∴x=5是方程的x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0解,
∴25-5(2k+3)+k2+3k+2=0,
解得:k2-7k+12=0,
∴k=3或k=4,
若k=3時,
則方程為:x2-9x+20=0,
∴x=4或x=5,滿足三角形三邊關(guān)系,
此時周長為14;
若k=4時,
則方程:x2-11x+30=0,
∴x=5或x=6,滿足三角形三邊關(guān)系,
此時周長為16;
當(dāng)BC是等腰三角形的底邊時,
此時方程的x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0有兩個相等的解,不滿足題意,
綜上所述,△ABC的周長為14或16.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交點(diǎn)C,拋物線過A,C兩點(diǎn),與x軸交于另一點(diǎn)B.
(1)求拋物線的解析式.
(2)在直線AC上方的拋物線上有一動點(diǎn)E,連接BE,與直線AC相交于點(diǎn)F,當(dāng)時,求的值.
(3)點(diǎn)N是拋物線對稱軸上一點(diǎn),在(2)的條件下,若點(diǎn)E位于對稱軸左側(cè),在拋物線上是否存在一點(diǎn)M,使以M,N,E,B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AC=BC,AB⊥x軸于A,反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C,交AB于點(diǎn)D,已知AB=4,BC=.
(1)若OA=4,求k的值.
(2)連接OC,若AD=AC,求CO的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于一個三角形,設(shè)其三個內(nèi)角度數(shù)分別為,和,若x,y,z滿足,我們定義這個三角形為美好三角形.
(1)△ABC中,若,,則△ABC (填”是”或”不是”)美好三角形;
(2)如圖,銳角△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,,,⊙O直徑為,求證:△ABC為美好三角形;
(3)已知△ABC為美好三角形,,求的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,菱形ABCD中,∠A是銳角,E為邊AD上一點(diǎn),△ABE沿著BE折疊,使點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)F恰好落在邊CD上,連接EF,BF,給出下列結(jié)論:
①若∠A=70°,則∠ABE=35°;②若點(diǎn)F是CD的中點(diǎn),則S△ABES菱形ABCD
下列判斷正確的是( 。
A. ①,②都對B. ①,②都錯C. ①對,②錯D. ①錯,②對
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是一張長40cm、寬24cm的矩形紙板,將紙板四個角各剪去一個邊長為xcm的正方形,然后將四周突出部分折起,可制成一個無蓋紙盒.
(1)這個無蓋紙盒的長為 cm,寬為 cm;(用含x的式子表示)
(2)若要制成一個底面積是720 的無蓋長方體紙盒,求x的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖, 拋物線與軸交于點(diǎn)A(-1,0),頂點(diǎn)坐標(biāo)(1,n)與軸的交點(diǎn)在(0,2),(0,3)之間(包 含端點(diǎn)),則下列結(jié)論:①;②;③對于任意實(shí)數(shù)m,總成立;④關(guān)于的方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.其中結(jié)論正確的個數(shù)為
A. 1 個 B. 2 個 C. 3 個 D. 4 個
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某青年旅社有60間客房供游客居住,在旅游旺季,當(dāng)客房的定價為每天200元時,所有客房都可以住滿.客房定價每提高10元,就會有1個客房空閑,對有游客入住的客房,旅社還需要對每個房間支出20元/每天的維護(hù)費(fèi)用,設(shè)每間客房的定價提高了x元.
(1)填表(不需化簡)
入住的房間數(shù)量 | 房間價格 | 總維護(hù)費(fèi)用 | |
提價前 | 60 | 200 | 60×20 |
提價后 |
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(2)若該青年旅社希望每天純收入為14000元且能吸引更多的游客,則每間客房的定價應(yīng)為多少元?(純收入=總收入﹣維護(hù)費(fèi)用)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,⊙I是△ABC的內(nèi)切圓,切點(diǎn)分別是D、E、F.
(1)若∠B=50°,∠C=70°,則∠DFE的度數(shù)為 ;
(2)若∠DFE=50°,求∠A的度數(shù).
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