Question

如圖4­3­47，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以4 cm/s的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以2 cm/s的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)D，E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t s(0 < t ≤ 15)．過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接DE，EF.

(1)求證：AE＝DF；

(2)四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)當(dāng)t為何值時(shí)，△DEF為直角三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：(1)在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t，

∴DF＝2t，又∵AE＝2t，∴AE＝DF.

(2)能．理由如下：

∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF.

又∵AE＝DF，∴四邊形AEFD為平行四邊形．

當(dāng)AE＝AD時(shí)，四邊形AEFD是菱形，即60－4t＝2t.

解得t＝10 s，

∴當(dāng)t＝10 s時(shí)，四邊形AEFD為菱形．

(3)①當(dāng)∠DEF＝90°時(shí)，由(2)知EF∥AD，

∴∠ADE＝∠DEF＝90°.

∵∠A＝60°，∴AD＝AE·cos60°＝t.

又AD＝60－4t，即60－4t＝t，解得t＝12 s.

②當(dāng)∠EDF＝90°時(shí)，四邊形EBFD為矩形．

在Rt△AED中，∠A＝60°，則∠ADE＝30°.

∴AD＝2AE，即60－4t＝4t，解得t＝ s.

③若∠EFD＝90°，則E與B重合，D與A重合，此種情況不存在．

綜上所述，當(dāng)t＝ s或t＝12 s時(shí)，△DEF為直角三角形．