【題目】如圖,在ABC中,C=90°,ABC的平分線交AC于點E,過點EBE的垂線交AB于點F,OBEF的外接圓.

1)求證:ACO的切線;

2)過點EEHAB,垂足為H,求證:CD=HF;

3)若CD=1EH=3,求BFAF長.

【答案】1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)

【解析】試題分析:(1)連接OE,由于BE是角平分線,則有∠CBE=∠OBE;而OB=OE,就有∠OBE=∠OEB,等量代換有∠OEB=∠CBE,那么利用內錯角相等,兩直線平行,可得OE∥BC;又∠C=90°,所以∠AEO=90°,即AC是⊙O的切線;(2)連結DE,先根據(jù)AAS證明△CDE≌△HFE,再由全等三角形的對應邊相等即可得出CD=HF;(3)由(2)中CD=HF,即可求出HF的值,先求OA和OF的長度,再由AF=OA-OF求出AF的值;

試題解析:

1)連接OE,由于BE是角平分線,則有∠CBE=OBE;而OB=OE,就有∠OBE=OEB,等量代換有∠OEB=CBE,那么利用內錯角相等,兩直線平行,可得OEBC;又∠C=90°,所以∠AEO=90°,即AC是⊙O的切線;

2)連結DE,先根據(jù)AAS證明△CDE≌△HFE,再由全等三角形的對應邊相等即可得出CD=HF

證明:(1)如圖,連接OE

BE平分∠ABC,

∴∠CBE=OBE,

OB=OE

∴∠OBE=OEB,

∴∠OEB=CBE,

OEBC,

∴∠AEO=C=90°,

AC是⊙O的切線;

2)如圖,連結DE

∵∠CBE=OBE,ECBCCEHABH,

EC=EH

∵∠CDE+BDE=180°,∠HFE+BDE=180°,

∴∠CDE=HFE

CDE與△HFE中,

,

∴△CDE≌△HFEAAS),

CD=HF

3)由(2)得,CD=HF.又CD=1

HF1

RtHFE中,EF=

EFBE

∴∠BEF=90°

∴∠EHF=BEF=90°

∵∠EFH=BFE

EHFBEF

,即

BF=10

, ,

RtOHE中, ,

RtEOA中, ,

.

練習冊系列答案
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應用上面的結論,解決下列問題:

在平面直角坐標系xOy中,已知直線.點A是直線上的一個動點,且點A的橫坐標為.以A為頂點的拋物線與直線的另一個交點為點B

1)當時,求拋物線的解析式和AB的長;

2)當點B到直線OA的距離達到最大時,直接寫出此時點A的坐標;

3)過點A作垂直于軸的直線交直線于點CC為頂點的拋物線與直線的另一個交點為點D

①當ACBD時,求的值;

②若以A,BC,D為頂點構成的圖形是凸四邊形(各個內角度數(shù)都小于180°)時,直接寫出滿足條件的的取值范圍.

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1)求出含藥量y(微克)與服藥時間x(小時)的函數(shù)關系式;并畫出0≤x≤8內的函數(shù)的圖象的示意圖;

2)求服藥后幾小時才能使每毫升血液中含藥量最大?并求出血液中的最大含藥量;

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設十位上的數(shù)字為,個位上的數(shù)字為,并且為正整數(shù))

那么這個兩位數(shù)可表示為

∴這個兩位數(shù)是9的倍數(shù)

小明猜想:個位數(shù)字與十位數(shù)字與百位數(shù)字的和是9的倍數(shù)的三位數(shù)也一定是9的倍數(shù).小明的這個猜想的結論是否正確?若正確模仿小明的證明思路給出證明,若不正確舉出反例.

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①求拋物線的解析式;

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