【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線和拋物線W交于A,B兩點(diǎn),其中點(diǎn)A是拋物線W的頂點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)A在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí),拋物線W隨點(diǎn)A作平移運(yùn)動(dòng).在拋物線平移的過程中,線段AB的長(zhǎng)度保持不變.
應(yīng)用上面的結(jié)論,解決下列問題:
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線.點(diǎn)A是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為.以A為頂點(diǎn)的拋物線與直線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)B.
(1)當(dāng)時(shí),求拋物線的解析式和AB的長(zhǎng);
(2)當(dāng)點(diǎn)B到直線OA的距離達(dá)到最大時(shí),直接寫出此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo);
(3)過點(diǎn)A作垂直于軸的直線交直線于點(diǎn)C.以C為頂點(diǎn)的拋物線與直線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)D.
①當(dāng)AC⊥BD時(shí),求的值;
②若以A,B,C,D為頂點(diǎn)構(gòu)成的圖形是凸四邊形(各個(gè)內(nèi)角度數(shù)都小于180°)時(shí),直接寫出滿足條件的的取值范圍.
【答案】(1);(2);(3)①;②的取值范圍是或.
【解析】
(1)根據(jù)t=0時(shí),A的坐標(biāo)可以求得是(0,-2),利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式,則B的坐標(biāo)可以求得;
(2)△OAB的面積一定,當(dāng)OA最小時(shí),B到OA的距離即△OAB中OA邊上的高最大,此時(shí)OA⊥AB,據(jù)此即可求解;
(3)①方法一:設(shè)AC,BD交于點(diǎn)E,直線l1:y=x-2,與x軸、y軸交于點(diǎn)P和Q(如圖1).由點(diǎn)D在拋物線C2:y=[x-(2t-4)]2+(t-2)上,可得 =[(t-1)-(2t-4)]2+(t-2),解方程即可得到t的值;
方法二:設(shè)直線l1:y=x-2與x軸交于點(diǎn)P,過點(diǎn)A作y軸的平行線,過點(diǎn)B作x軸的平行線,交于點(diǎn)N.(如圖2),根據(jù)BD⊥AC,可得t-1=2t-,解方程即可得到t的值;
②設(shè)直線l1與l2交于點(diǎn)M.隨著點(diǎn)A從左向右運(yùn)動(dòng),從點(diǎn)D與點(diǎn)M重合,到點(diǎn)B與點(diǎn)M重合的過程中,可得滿足條件的t的取值范圍.
解:(1)∵點(diǎn)A在直線l1:y=x-2上,且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為0,
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,-2),
∴拋物線C1的解析式為y=-x2-2,
∵點(diǎn)B在直線l1:y=x-2上,
設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x,x-2).
∵點(diǎn)B在拋物線C1:y=-x2-2上,
∴x-2=-x2-2,
解得x=0或x=-1.
∵點(diǎn)A與點(diǎn)B不重合,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-1,-3),
∴由勾股定理得AB=.
(2)當(dāng)OA⊥AB時(shí),點(diǎn)B到直線OA的距離達(dá)到最大,則OA的解析式是y=-x,則
,解得: ,
則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,-1).
(3)①方法一:設(shè),交于點(diǎn),直線,與軸、軸交于點(diǎn)和(如圖1).
則點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,.
∴.
∵.
∵軸,
∴軸.
∴.
∵,,
∴.
∵點(diǎn)在直線上,且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.
∵軸,
∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.
∵點(diǎn)在直線上,
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.
∴拋物線的解析式為.
∵,
∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,
∵點(diǎn)在直線上,
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.
∵點(diǎn)在拋物線上,
∴.
解得或.
∵當(dāng)時(shí),點(diǎn)與點(diǎn)重合,
∴
方法二:設(shè)直線l1:y=x-2與x軸交于點(diǎn)P,過點(diǎn)A作y軸的平行線,過點(diǎn)B作x軸的平行線,交于點(diǎn)N.(如圖2)
則∠ANB=90°,∠ABN=∠OPB.
在△ABN中,BN=ABcos∠ABN,AN=ABsin∠ABN.
∵在拋物線C1隨頂點(diǎn)A平移的過程中,
AB的長(zhǎng)度不變,∠ABN的大小不變,
∴BN和AN的長(zhǎng)度也不變,即點(diǎn)A與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的差以及縱坐標(biāo)的差都保持不變.
同理,點(diǎn)C與點(diǎn)D的橫坐標(biāo)的差以及縱坐標(biāo)的差也保持不變.
由(1)知當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,-2)時(shí),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-1,-3),
∴當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(t,t-2)時(shí),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(t-1,t-3).
∵AC∥x軸,
∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為t-2.
∵點(diǎn)C在直線l2:y=x上,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2t-4,t-2).
令t=2,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,0).
∴拋物線C2的解析式為y=x2.
∵點(diǎn)D在直線l2:y=x上,
∴設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,).
∵點(diǎn)D在拋物線C2:y=x2上,
∴=x2.
解得x=或x=0.
∵點(diǎn)C與點(diǎn)D不重合,
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(,).
∴當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,0)時(shí),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(,).
∴當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2t-4,t-2)時(shí),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2t,t).
∵BD⊥AC,
∴t1=2t.
∴t=.
②t的取值范圍是t<或t>5.
設(shè)直線l1與l2交于點(diǎn)M.隨著點(diǎn)A從左向右運(yùn)動(dòng),從點(diǎn)D與點(diǎn)M重合,到點(diǎn)B與點(diǎn)M重合的過程中,以A,B,C,D為頂點(diǎn)構(gòu)成的圖形不是凸四邊形.
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【題目】在同一直角坐標(biāo)系中,函數(shù)和函數(shù)(m是常數(shù),且)的圖象可能是( )
A. B.
C. D.
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①a=1;②若函數(shù)y隨x的增大而減小,則x的取值范圍一定是x<0;
③若方程|a(x﹣1)2﹣1|=k有兩個(gè)實(shí)數(shù)解,則k的取值范圍是k>1;
④若M(m1,n),N(m2,n),P(m3,n),Q(m4,n)(n>0)是上述函數(shù)圖象的四個(gè)不同點(diǎn),且m1<m2<m3<m4,則有m2+m3﹣m1=m4.其中正確的結(jié)論有( 。
A. 4個(gè) B. 3個(gè) C. 2個(gè) D. 1個(gè)
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求、之間的路程;
請(qǐng)判斷此出租車是否超過了城南大道每小時(shí)千米的限制速度?
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【題目】請(qǐng)分別在下列圖中使用無(wú)刻度的直尺按要求畫圖.
(1)在圖1中,點(diǎn)P是ABCD邊AD上的中點(diǎn),過點(diǎn)P畫一條線段PM,使PM=AB.
(2)在圖2中,點(diǎn)A、D分別是BCEF邊FB和EC上的中點(diǎn),且點(diǎn)P是邊EC上的動(dòng)點(diǎn),畫出△PAB的一條中位線.
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【題目】如圖,AC是⊙O的直徑,弦BD⊥AO于E,連接BC,過點(diǎn)O作OF⊥BC于F,若BD=8cm,AE=2cm,則OF的長(zhǎng)度是( )
A. 3cm B. cm C. 2.5cm D. cm
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【題目】如右圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn),以AB為直徑在正方形內(nèi)作半圓
O,將△DCE沿DE翻折,點(diǎn)C剛好落在半圓O的點(diǎn)F處,則CE的長(zhǎng)為( )
A. B. C. D.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作BE的垂線交AB于點(diǎn)F,⊙O是△BEF的外接圓.
(1)求證:AC是⊙O的切線;
(2)過點(diǎn)E作EH⊥AB,垂足為H,求證:CD=HF;
(3)若CD=1,EH=3,求BF及AF長(zhǎng).
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