Question

【題目】定義：如圖，把經(jīng)過拋物線 (，， ，為常數(shù))與軸的交點和頂點的直線稱為拋物線的“伴線”，若拋物線與軸交于，兩點(在的右側(cè))，經(jīng)過點和點的直線稱為拋物線的“標(biāo)線”．

(1)已知拋物線，求伴線的解析式．

(2)若伴線為，標(biāo)線為，

①求拋物線的解析式；

②設(shè)為“標(biāo)線”上一動點，過作平行于“伴線”，交“標(biāo)線”上方的拋物線于，求線段長的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②時，有最大值

【解析】

（1）先根據(jù)拋物線解析式及其圖象求出A、B、C、M的坐標(biāo)，再根據(jù)“伴線”是過拋物線 (，， ，為常數(shù))與軸的交點和頂點的直線，可設(shè)“伴線”為，再把點C、M代入即可求解；

（2）①根據(jù)“伴線”解析式求出點C坐標(biāo)，進而求出“標(biāo)線”解析式和點B坐標(biāo)，將點B、C代入拋物線解析式可得原拋物線的頂點式：，繼而得拋物線的頂點坐標(biāo)，再將拋物線頂點坐標(biāo)代入伴線解析式，解方程求得a的值，繼而求得拋物線解析式；

②設(shè)點，根據(jù)平行于“伴線”，可設(shè)的直線解析式為，與拋物線聯(lián)立可得Q點坐標(biāo)，根據(jù)兩點間距離公式可得PQ的長度為關(guān)于m的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值即為PQ的最大值．

(1) ∵

令,則，解得：，

∴，，

令，則，

∴，

∵

將代入拋物線解析式可得

∴頂點，

設(shè)伴線為，把點，代入得：

解得：

∴伴線的解析式為：；

(2)①伴線為，

令x＝0，則y＝﹣3，

∴，

∵標(biāo)線為，則，

∴，

∴標(biāo)線解析式為：，

令y＝0，則x＝3，

∴，

將點，代入，

∴，，

∴，

∴拋物線頂點，

∴將點M代入伴線，得：，

整理得：，

解得：或（當(dāng)時，，故舍去），

∴拋物線解析式為：；

②設(shè)點，

∵平行于“伴線”，

∴的直線解析式為，

與拋物線的交點，

∴，

∴，

∵，

∴當(dāng)，即時，有最大值