Question

【題目】如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG均為菱形，且∠EAG＝∠ABC．

（1）如圖1，點G在線段AD上，已知AD＝5，AG＝3，且cos∠ABC＝ ，連接AF，BF，求BF的長；

（2）如圖2，點G在菱形ABCD內(nèi)部，連接BG、DE，若點M為DE中點，試猜想AM與BG之間的數(shù)量關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）BF=；（2）BG＝2AM，見解析.

【解析】

（1）由cos∠ABC＝得到∠EAG＝∠ABC＝60°，由AF為菱形對角線得到AF平分∠EAG，求得∠BAF＝90°．已知AB＝AD＝5，所以在Rt△ABF中只要求出AF即能求出BF．又因為AF為菱形對角線且已知菱形邊長為3，連接另一對角線EG，根據(jù)對角線互相垂直平分且∠FAG＝30°即能求出BF．

（2）圖形比較復雜，關鍵條件為∠EAG＝∠ABC的運用．因為菱形中∠ABC與∠BAD互補，則∠ABC與∠BAD的補角相等，延長BA構造∠DAH＝∠ABC，所以∠EAG＝∠DAH，中間加上公共角∠DAG，易得∠EAD＝∠GAH且EA＝GA，所以使BA的延長線AH＝AD即能構造出△ADE≌△AHG．取GH中點P，則AM、AP為全等三角形對應中線，AM＝AP，問題轉化為AP與BG的數(shù)量關系．又A、P分別為BH、GH中點，根據(jù)中位線定理，BG＝2AP，得證．

解：（1）連接EG，交AF于點O，（如圖1）

∵四邊形AEFG為菱形

∴EG⊥AF，AF＝2OA，AF平分∠EAG

∵cos∠ABC＝，

∴∠EAG＝∠ABC＝60°

∴∠OAG＝∠EAG＝30°

∵AG＝3，∠AOG＝90°

∴OG＝AG＝

∴OA＝＝

∴AF＝2OA＝

∵菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AD∥BC，AB＝5

∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝120°，AD＝AB＝5

∴∠BAF＝∠BAD﹣∠DAF＝120°﹣30°＝90°

∴BF＝

（2）猜想BG＝2AM，證明如下：

延長BA至H，使AH＝AB，連接GH，取GH中點P，連接AP，（如圖2）

∵四邊形ABCD和四邊形AEFG為菱形

∴AD＝AB＝AH，AE＝AG，BC∥AD

∴∠ABC＝∠HAD

∵∠EAG＝∠ABC

∴∠EAG＝∠HAD

∴∠EAG+∠DAG＝∠HAD+∠DAG

即∠EAD＝∠GAH

在△ADE與△AHG中

，

∴△ADE≌△AHG（SAS）

∵M是DE中點，P是GH中點，即AM與AP為全等三角形對應中線

∴AM＝AP

∵A為BH中點，

∴AP為△BGH中位線

∴BG＝2AP

∴BG＝2AM