Question

【題目】如圖，點A在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為20，以原點O為圓心，OA為半徑作優(yōu)弧，使點B在O右下方，且tan∠AOB＝，在優(yōu)弧上任取一點P，且能過P作直線l∥OB交數(shù)軸于點Q，設(shè)Q在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為x，連接OP．

（1）若優(yōu)弧上一段的長為10π，求∠AOP度數(shù)及x的值．

（2）若線段PQ的長為10，求這時x的值．

Answer 1

【答案】(1) ∠AOP=90°,x= ;(2) x的值為或﹣+5或．

【解析】

（1）由＝10π，解得n＝90°，即∠POQ＝90°，在Rt△POQ中，OP＝20，tan∠PQO＝tan∠QOB＝，即可得出x的值；

解：（1）如圖1，

由＝10π，

解得n＝90°，

∴∠POQ＝90°，

∵PQ∥OB，

∴∠PQO＝∠BOQ，

∴tan∠PQO＝tan∠QOB＝＝

∴OQ＝

∴x＝；

（2）分三種情況：

①如圖2，作OH⊥PQ于H，設(shè)OH＝k，QH＝k．

在Rt△OPH中，∵OP2＝OH2+PH2，

∴202＝（k）2+（10﹣k）2，

整理得：k2﹣5k﹣75＝0，

解得k＝或k＝（舍棄），

∴OQ＝2k＝

此時x的值為

②如圖3，作OH⊥PQ交PQ的延長線于H．設(shè)OH＝k，QH＝k．

在Rt△在Rt△OPH中，∵OP2＝OH2+PH2，

∴202＝（k）2+（10+k）2，

整理得：k2+5k﹣75＝0，

解得k＝（舍棄）或k＝（舍棄），

∴OQ＝2k＝，

此時x的值為﹣+5

③如圖4，作OH⊥PQ于H，設(shè)OH＝k，QH＝k．

在Rt△OPH中，∵OP2＝OH2+PH2，

∴202＝（k）2+（10﹣k）2，

整理得：k2﹣5k﹣75＝0，

解得k＝或（舍棄），

∴OQ＝2k＝

此時x的值為．

綜上所述，滿足條件的x的值為或﹣+5或．