【題目】如圖1,已知△ABC是邊長為8的等邊三角形,∠EBD=30°,BE=DE,連接AD,點(diǎn)F為AD的中點(diǎn),連接EF.將△BDE繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn).
(1)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E位于BC邊上時,延長DE交AB于點(diǎn)G.
①求證:BG=DE;
②若EF=3,求BE的長;
(2)如圖3,連接CF,在旋轉(zhuǎn)過程中試探究線段CF與EF之間滿足的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
【答案】(1)①見解析;②2;(2)EC=EF,EC⊥EF,見解析
【解析】
(1)①想辦法證明△BEG是等邊三角形即可解決問題;②利用三角形的中位線定理求出AG,再求出BG即可解決問題.
(2)結(jié)論:EC=EF,EC⊥EF.延長DF交CA的延長線于M,延長FE到K,使得EK=EF,連接AK,CK,CF,在FM上截取FN=DF,連接BN.證明圖中,紅色三角形全等,推出△CFK是等邊三角形即可解決問題.
(1)①證明:如圖2中,
∵△ABC是等邊三角形,
∴∠ABC=60°,
∵EB=ED,
∴∠EBD=∠EDB=30°,
∴∠GBD=∠ABC+∠EBD=90°,
∴∠BGD=60°,
∴△BEG是等邊三角形,
∴BG=BE,
∴BG=ED.
②解:由①可知,BG=GE=BE=DE,
又∵AF=DF,
∴AG=2EF=6,
∵AB=8,
∴BG=AB﹣AG=8﹣6=2,
∴BE=BG=2.
(2)結(jié)論:EC=EF,EC⊥EF.
理由:如圖2中,延長DF交CA的延長線于M,延長FE到K,使得EK=EF,連接AK,CK,CF,在FM上截取FN=DF,連接BN.
∵FB=FD=FN,
∴∠DBN=90°,
∵∠DBF=30°,
∴∠FBN=60°,
∴△FBN是等邊三角形,
∴BN=BF,
∵∠ABC=∠NBF=60°,
∴∠ABN=∠CBF,
∵AB=BC,
∴△ABN≌△CBF(SAS),
∴AN=CF,
∵FN=DF,AE=ED,
∴EF∥AN,AN=2EF,
∵2EF=FK,
∴AN=FK,AN∥FK,
∴四邊形ANFK是平行四邊形,
∴AK∥DM,AK=FN=BN,
∴∠CAK=∠M,
∵∠AOM=∠BON,∠OAM=∠BNO=120°,
∴∠M=∠OBN,
∴∠ABN=∠CAK,
∵AB=AC,
∴△ABN≌△CAK(SAS),
∴AN=CK,
∴CF=CK=FK,
∴△CFK是等邊三角形,∠CFE=60°
∵2EF=FK,
∴CE⊥FK,
∵∠EFC=60°,
∴tan∠CFE==,
∴EC=EF,EC⊥EF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=2x和y=-x的圖像分別為直線l1、l2,過點(diǎn)(1,0)作x軸的垂線交l2于點(diǎn)A1,過點(diǎn)A1作y軸的垂線交l2于點(diǎn)A2,過點(diǎn)A2作x軸的垂線交l1于點(diǎn)A3,過點(diǎn)A3作y軸的垂線交l2于點(diǎn)A4,…,依次進(jìn)行下去,則點(diǎn)A2020的坐標(biāo)為_______________
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校共抽取50名同學(xué)參加學(xué)校舉辦的“預(yù)防新冠肺炎”知識測驗(yàn),所得成績分別記作60分、70分、80分、90分、100分,并將統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制成不完整的扇形統(tǒng)計(jì)圖(如圖).
(1)若n=108,則成績?yōu)?/span>60分的人數(shù)為 ;
(2)若從這50位同學(xué)中,隨機(jī)抽取一人,求抽到同學(xué)的分?jǐn)?shù)不低于90分的概率;
(3)若成績的唯一眾數(shù)為80分,求這個班平均成績的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】崇州(古稱蜀州),老子思想創(chuàng)立發(fā)揚(yáng)地,崇州市歷史悠久,漢代稱蜀川,唐代稱蜀州,其建制歷史長達(dá)4300年,公元316年設(shè)立縣制,1994年撤縣設(shè)市.崇州市全市幅員面積1090平方公里,呈“四山一水五分田”格局,是距離成都天府廣場最近的郊區(qū)區(qū)域,是四川省首批命名的歷史悠久名城,轄6個街道辦事處,9個鎮(zhèn),戶籍人口66.48萬(其中城鎮(zhèn)人口31.6萬),常住人口75萬,用科學(xué)記數(shù)法表示75萬為( )
A.7.5×104B.75×104C.0.75×106D.7.5×105
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,且AB為⊙O的直徑.∠ACB的平分線CD交⊙O于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作⊙O的切線PD交CA的延長線于點(diǎn)P,過點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E,過點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)F.
(1)求證:DP∥AB;
(2)試猜想線段AE、EF、BF之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明;
(3)若AC=6,BC=8,求線段PD的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C、E位于⊙O上AB兩側(cè).在BA的延長線上取點(diǎn)D,使∠ACD=∠B.
(1)求證:DC是⊙O的切線;
(2)當(dāng)BC=EC時,求證:AC2=AEAD;
(3)在(2)的條件下,若BC=4,AD:AE=5:9,求⊙O的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為1,點(diǎn)A與原點(diǎn)重合,點(diǎn)B在y軸的正半軸上,點(diǎn)D在x軸的負(fù)半軸上,將正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)30°至正方形AB'C′D′的位置,B'C′與CD相交于點(diǎn)M,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為了解全校學(xué)生對新聞、體育、動畫、娛樂、戲曲五類電視節(jié)目的喜愛情況,隨機(jī)選取該校部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,要求每名學(xué)生從中選出一類最喜愛的電視節(jié)目,以下是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的統(tǒng)計(jì)圖表的一部分.
類別 | |||||
類型 | 新聞 | 體育 | 動畫 | 娛樂 | 戲曲 |
人數(shù) | 11 | 20 | 40 | 4 |
請你根據(jù)以上信息,回答下列問題:
(1)統(tǒng)計(jì)表中的值為_______,統(tǒng)計(jì)圖中的值為______,類對應(yīng)扇形的圓心角為_____度;
(2)該校共有1500名學(xué)生,根據(jù)調(diào)查結(jié)果,估計(jì)該校最喜愛體育節(jié)目的學(xué)生人數(shù);
(3)樣本數(shù)據(jù)中最喜愛戲曲節(jié)目的有4人,其中僅有1名男生.從這4人中任選2名同學(xué)去觀賞戲曲表演,請用樹狀圖或列表求所選2名同學(xué)中有男生的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,ABC內(nèi)接于⊙O,AB=AC,.過點(diǎn)A作AD//BC,與的平分線交于點(diǎn)D,BD與AC交于點(diǎn)E,與⊙O交于點(diǎn)F.
(1)求證:AD是⊙O的切線
(2)求證:
(3)若BC=2,求的值
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