Question

【題目】定義：如果一個(gè)y與x的函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)平移后能與某反比例函數(shù)的圖象重合，那么稱(chēng)這個(gè)函數(shù)是y與x的“反比例平移函數(shù)”．例如：y＝+1的圖象向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位得到y＝的圖象，則y＝+1是y與x的“反比例平移函數(shù)”．

（1）若（x+3）（y+2）＝8，求y與x的函數(shù)表達(dá)式，并判斷這個(gè)函數(shù)是否為“反比例平移函數(shù)”？

（2）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為原點(diǎn)，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（9，0）、（0，3），點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，連接OB、CD交于點(diǎn)E，“反比例平移函數(shù)”y＝的圖象經(jīng)過(guò)B、E兩點(diǎn)，則這個(gè)“反比例平移函數(shù)”的表達(dá)式為　 　；這個(gè)“反比例平移函數(shù)”的圖象經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q與某一個(gè)反比例函數(shù)的圖象重合，請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式　 　．

（3）在（2）的條件下，已知過(guò)線(xiàn)段BE中點(diǎn)的一條直線(xiàn)l交這個(gè)“反比例平移函數(shù)”圖象于P、Q兩點(diǎn)（P在Q的右側(cè)），若B、E、P、Q為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為16，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣2，是“反比例平移函數(shù)”；（2）y＝2+，y＝；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（7，5）或（15，）．

【解析】

（1）將已知式變形用x表示y，再由“反比例平移函數(shù)”的定義即可判斷；

（2）故點(diǎn)E（3，1），將B、E的坐標(biāo)代入y＝，即可求解；

（3）由（2）可知是的“反比例平移函數(shù)”，而且E點(diǎn)與B點(diǎn)是兩函數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，線(xiàn)段BE的中點(diǎn)F為由反比例函數(shù)對(duì)稱(chēng)中心，得四邊形PEQB為平行四邊形．四邊形PEQB的面積為16，S△PFB＝4，利用平移對(duì)應(yīng)關(guān)系先在求P1（P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)．

解：（1），則，

該函數(shù)圖象向右平移3個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到的圖象，

故：函數(shù)是“反比例平移函數(shù)”；

（2）點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為、，點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，則點(diǎn)，

∴直線(xiàn)OB的解析式為：，直線(xiàn)CD的解析式為：，

聯(lián)立的方程組：，

解得 ， 故點(diǎn)，

將B、E的坐標(biāo)代入得：，解得：，

故這個(gè)“反比例平移函數(shù)”的表達(dá)式為，

故變換后的反比例函數(shù)表達(dá)式為，

故答案為：，；

（3）∵，，線(xiàn)段BE的中點(diǎn)為F，

∴，

由（2）可知：是的“反比例平移函數(shù)”，由向下左6個(gè)單位，向下2個(gè)單位可得，

∴點(diǎn)B與點(diǎn)E、點(diǎn)F與點(diǎn)O是平移的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，

所以存在點(diǎn)與所求點(diǎn)P對(duì)應(yīng)，

如圖，由反比例函數(shù)中心對(duì)稱(chēng)性，四邊形PEQB為平行四邊形．

四邊形PEQB的面積為16，，

，

I.當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，設(shè)其對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)，則在E點(diǎn)左側(cè)，如圖：簡(jiǎn)化構(gòu)造矩形求面積得，

．

，解得：，而，

故，，故：，

點(diǎn)P的坐標(biāo)為．

.當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，對(duì)應(yīng)如圖，同理可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：或