Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0），點(diǎn)B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，8），連接BC，又已知位于y軸右側(cè)且垂直于x軸的動(dòng)直線(xiàn)l，沿x軸正方向從O運(yùn)動(dòng)到B（不含O點(diǎn)和B點(diǎn)），且分別交拋物線(xiàn)、線(xiàn)段BC以及x軸于點(diǎn)P，D，E．

（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；

（2）連接AC，AP，當(dāng)直線(xiàn)l運(yùn)動(dòng)時(shí)，求使得△PEA和△AOC相似的點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）作PF⊥BC，垂足為F，當(dāng)直線(xiàn)l運(yùn)動(dòng)時(shí)，求Rt△PFD面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1） y＝﹣x2+2x+8；（2）點(diǎn)P（）；（3）

【解析】

（1）將點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，即可求解；

（2）只有當(dāng)∠PEA＝∠AOC時(shí)，PEA△∽AOC，可得：PE＝4AE，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)（4k﹣2，k），即可求解；

（3）利用Rt△PFD∽Rt△BOC得： ，再求出PD的最大值，即可求解．

解：（1）將點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：，

解得：a= -1，b=2，c=8，

故拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：y＝﹣x2+2x+8；

（2）∵點(diǎn)A（﹣2，0）、C（0，8），

∴OA＝2，OC＝8，

∵l⊥x軸，∴∠PEA＝∠AOC＝90°，

∵∠PAE≠∠CAO，

∴只有當(dāng)∠PEA＝∠AOC時(shí)，PEA△∽AOC，

此時(shí)，即：，

∴AE＝4PE，

設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為k，則PE＝k，AE＝4k，

∴OE＝4k﹣2，

將點(diǎn)P坐標(biāo)（4k﹣2，k）代入二次函數(shù)表達(dá)式并解得：

k＝0或（舍去0），則點(diǎn)P（）；

（3）在Rt△PFD中，∠PFD＝∠COB＝90°，

∵l∥y軸，

∴∠PDF＝∠COB，

∴△PFD∽△BOC，

∴，

∴S△PDF＝S△BOC，

而S△BOC＝OBOC＝×4×8=16，

BC＝，

∴S△PDF＝S△BOC＝PD2，

即當(dāng)PD取得最大值時(shí)，S△PDF最大，

將B、C坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式得：

，

解得：，

∴直線(xiàn)BC的表達(dá)式為：y＝﹣2x+8，

設(shè)點(diǎn)P（m，﹣m2+2m+8），則點(diǎn)D（m，﹣2m+8），

則PD＝﹣m2+2m+8+2m﹣8＝﹣（m﹣2）2+4，

當(dāng)m＝2時(shí)，PD的最大值為4，

故當(dāng)PD＝4時(shí)，∴S△PDF＝PD2＝．