Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC的頂點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)C在第四象限，點(diǎn)B在x軸的正半軸上．∠OAB=90°且OA=AB，OB=6，OC=5．點(diǎn)P是線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)O，B重合)，過點(diǎn)P的直線與y軸平行，直線交邊OA或邊AB于點(diǎn)Q，交邊OC或邊BC于點(diǎn)R．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，線段QR的長度為m．已知t=4時(shí)，直線恰好過點(diǎn)C.

（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)0＜t＜3時(shí)，求m關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；

（3）當(dāng)m=3.5時(shí)，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）（3，3），（6，0）　�。�2）（0<t<3）�。�3）P（，0）或（，0）

【解析】

(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可解決問題；

(2)作CN⊥x軸于N，如圖，先利用勾股定理計(jì)算出CN得到C點(diǎn)坐標(biāo)為(4，-3)，再利用待定系數(shù)法分別求出直線OC的解析式，直線OA的解析式，則根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到Q、R的坐標(biāo)，從而得到m關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；

(3)利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，直線BC的解析式，然后分類討論：當(dāng)0＜t＜3，3≤t＜4，當(dāng)4≤t＜6時(shí)，分別列出方程，然后解方程求出t得到P點(diǎn)坐標(biāo)．

(1)由題意△OAB是等腰直角三角形，

過點(diǎn)A作AM⊥OB于M，如圖：

∵OB=6，

∴AM=OM=MB=OB=3，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，3)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6，0)；

(2)作CN⊥軸于N，如圖，

∵時(shí)，直線恰好過點(diǎn)C，
∴ON=4，
在Rt△OCN中，CN=，

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(4，-3)，
設(shè)直線OC的解析式為，
把C(4，-3)代入得，解得，

∴直線OC的解析式為，

設(shè)直線OA的解析式為，
把A(3，3)代入得，解得，
∴直線OA的解析式為，
∵P(t，0)(0＜t＜3)，
∴Q(，)，R(，)，

∴QR=，

即()；

(3)設(shè)直線AB的解析式為，
把A(3，3)，B(6，0)代入得：

，解得，
∴直線AB的解析式為，
同理可得直線BC的解析式為，
當(dāng)0＜t＜3時(shí)，，

若，則，

解得，

此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)；

當(dāng)3≤t＜4時(shí)，Q(，)，R(，)，

∴，

若，則，

解得(不合題意舍去)；

當(dāng)4≤t＜6時(shí)，Q(，)，R(，)，

∴，

若，則，

解得，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)；

綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)或(，0)．