【題目】探究活動一:
如圖1,某數(shù)學(xué)興趣小組在研究直線上點的坐標(biāo)規(guī)律時,在直線AB上的三點A(1,3)、B(2,5)、C(4,9),有kAB==2,kAC==2,發(fā)現(xiàn)kAB=kAC,興趣小組提出猜想:若直線y=kx+b(k≠0)上任意兩點坐標(biāo)P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1≠x2),則kPQ=是定值.通過多次驗證和查閱資料得知,猜想成立,kPQ是定值,并且是直線y=kx+b(k≠0)中的k,叫做這條直線的斜率.
請你應(yīng)用以上規(guī)律直接寫出過S(﹣2,﹣2)、T(4,2)兩點的直線ST的斜率kST= .
探究活動二
數(shù)學(xué)興趣小組繼續(xù)深入研究直線的“斜率”問題,得到正確結(jié)論:任意兩條不和坐標(biāo)軸平行的直線互相要直時,這兩條直線的斜率之積是定值.
如圖2,直線DE與直線DF垂直于點D,D(2,2),E(1,4),F(4,3).請求出直線DE與直線DF的斜率之積.
綜合應(yīng)用
如圖3,⊙M為以點M為圓心,MN的長為半徑的圓,M(1,2),N(4,5),請結(jié)合探究活動二的結(jié)論,求出過點N的⊙M的切線的解析式.
【答案】探究活動一:;探究活動二:﹣1;綜合應(yīng)用:y=﹣x+9.
【解析】
(1)直接利用公式計算即可;
(2)運用公式分別求出kDE和kDF的值,再計算kDE×kDF=﹣1;
(3)先求直線MN的斜率kMN,根據(jù)切線性質(zhì)可知PQ⊥MN,可得直線PQ的斜率kPQ,待定系數(shù)法即可求得直線PQ解析式.
解:(1)∵S(﹣2,﹣2)、T(4,2)
∴kST==
故答案為:
(2)∵D(2,2),E(1,4),F(4,3).
∴kDE==﹣2,kDF==,
∴kDE×kDF=﹣2×=﹣1,
∴任意兩條不和坐標(biāo)軸平行的直線互相垂直時,這兩條直線的斜率之積等于﹣1.
(3)設(shè)經(jīng)過點N與⊙M的直線為PQ,解析式為y=kPQx+b
∵M(1,2),N(4,5),
∴kMN==1,
∵PQ為⊙M的切線
∴PQ⊥MN
∴kPQ×kMN=﹣1,
∴kPQ=﹣1,
∵直線PQ經(jīng)過點N(4,5),
∴5=﹣1×4+b,解得 b=9
∴直線PQ的解析式為y=﹣x+9.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】張華為體育測試做準(zhǔn)備,每天爬家對面的翠山,張華從西坡沿坡角為35°的山坡爬了2000米,緊接著又爬了坡角為45°的山坡800米,最后到達(dá)山頂;請你計算翠山的高度.(結(jié)果精確到個位,參考數(shù)據(jù):.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一元二次方程中,有著名的韋達(dá)定理:對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),如果方程有兩個實數(shù)根x1,x2,那么x1+x2=,x1+x2= (說明:定理成立的條件△≥0).比如方程2x2-3x-1=0中,△=17,所以該方程有兩個不等的實數(shù)解.記方程的兩根為x1,x2,那么x1+x2=,x1+x2=.請閱讀材料回答問題:
(1)已知方程x2-3x-2=0的兩根為x1、x2,求下列各式的值:
①x12+x22;②;
(2)已知x1,x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的兩個實數(shù)根.
①是否存在實數(shù)k,使(2x1-x2)(x1-2x2)=成立?若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由;
②求使-2的值為整數(shù)的實數(shù)k的整數(shù)值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2017年中秋節(jié)來期間,某超市以每盒80元的價格購進了1000盒月餅,第一周以每盒168元的價格銷售了300盒,第二周如果單價不變,預(yù)計仍可售出300盒,該超市經(jīng)理為了增加銷量,決定降價,據(jù)調(diào)查,單價每降低1元,可多售出10盒,但最低每盒要贏利30元,第二周結(jié)束后,該超市將對剩余的月餅一次性賠錢甩賣,此時價格為70元/盒.
(1)若設(shè)第二周單價降低x元,則第二周的單價是 ______ ,銷量是 ______ ;
(2)經(jīng)兩周后還剩余月餅 ______ 盒;
(3)若該超市想通過銷售這批月餅獲利51360元,那么第二周的單價應(yīng)是多元?
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)的圖象交坐標(biāo)軸于A(﹣1,0),B(4,0),C(0,﹣4)三點,點P是直線BC下方拋物線上一動點.
(1)求這個二次函數(shù)的解析式;
(2)是否存在點P,使△POC是以O(shè)C為底邊的等腰三角形?若存在,求出P點坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(3)動點P運動到什么位置時,△PBC面積最大,求出此時P點坐標(biāo)和△PBC的最大面積.
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【題目】為積極參與鄂州市全國文明城市創(chuàng)建活動,我市某校在教學(xué)樓頂部新建了一塊大型宣傳牌,如下圖.小明同學(xué)為測量宣傳牌的高度,他站在距離教學(xué)樓底部處6米遠(yuǎn)的地面處,測得宣傳牌的底部的仰角為,同時測得教學(xué)樓窗戶處的仰角為(、、、在同一直線上).然后,小明沿坡度的斜坡從走到處,此時正好與地面平行.
(1)求點到直線的距離(結(jié)果保留根號);
(2)若小明在處又測得宣傳牌頂部的仰角為,求宣傳牌的高度(結(jié)果精確到0.1米,,).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于點、點.
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式;
(2)求的面積;
(3)直接寫出一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值的自變量的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,過點A作AE⊥BC,垂足為E,連接DE,F為線段DE上一點,且∠AFE=∠B.
(1)求證:△ADF∽△DEC;
(2)若AB=18,AD=,AF=,求AE的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)的圖象交軸于、兩點,交軸于點,點的坐標(biāo)為,頂點的坐標(biāo)為.
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式和直線的表達(dá)式;
(2)點是直線上的一個動點,過點作軸的垂線,交拋物線于點,當(dāng)點在第一象限時,求線段長度的最大值;
(3)在拋物線上存在異于、的點,使中邊上的高為,請直接寫出點的坐標(biāo).
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