Question

【題目】如圖，二次函數(shù)的圖象交軸于、兩點，交軸于點，點的坐標(biāo)為，頂點的坐標(biāo)為.

（1）求二次函數(shù)的表達式和直線的表達式；

（2）點是直線上的一個動點，過點作軸的垂線，交拋物線于點，當(dāng)點在第一象限時，求線段長度的最大值；

（3）在拋物線上存在異于、的點，使中邊上的高為，請直接寫出點的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；；（2）；（3），

【解析】

（1）可設(shè)拋物線解析式為頂點式，由B點坐標(biāo)可求得拋物線的解析式，則可求得D點坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線BD解析式；

（2）設(shè)出P點坐標(biāo)，從而可表示出PM的長度，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值；

（3）過Q作QG∥y軸，交BD于點G，過Q和QH⊥BD于H，可設(shè)出Q點坐標(biāo)，表示出QG的長度，由條件可證得△DHG為等腰直角三角形，則可得到關(guān)于Q點坐標(biāo)的方程，可求得Q點坐標(biāo)．

解：（1）設(shè)二次函數(shù)的表達式為.

點在該二次函數(shù)的圖象上，

，

解得，

∴，

該二次函數(shù)的表達式為.

因為點在軸上，所以可令，解得.

設(shè)直線的表達式為，

把代入得，解得，

直線BD的表達式為.

（2）如圖：

設(shè)點的橫坐標(biāo)為，則，

∴.

∵，則當(dāng)時，PM有最大值，

的最大值為.

（3）如圖，過Q作QG∥y軸交BD于點G，交x軸于點E，作QH⊥BD于H

設(shè)Q（x，-x2+2x+3），則G（x，-x+3），

∴QG=|-x2+2x+3-（-x+3）|=|-x2+3x|，

∵△BOD是等腰直角三角形，

∴∠DBO=45°，

∴∠HGQ=∠BGE=45°，

當(dāng)△BDQ中BD邊上的高為時，即QH=HG=，

∴QG==4，

∴|-x2+3x|=4，

當(dāng)-x2+3x=4時，△=9-16＜0，方程無實數(shù)根，

當(dāng)-x2+3x=-4時，解得x=-1或x=4，

∴點的坐標(biāo)為：，；

∴綜上可知存在滿足條件的點Q，其坐標(biāo)為（-1，0）或（4，-5）．