Question

【題目】已知在△ABC中，AB=BC=12cm，∠ABC=90°，點(diǎn)E以每秒1cm/s的速度由A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，ED⊥AC于點(diǎn)D，點(diǎn)M為EC的中點(diǎn)．

（1）求證：△BMD為等腰直角三角形.

（2）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)3秒時(shí)，求△BMD的面積.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析;（2）.

【解析】

(1)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BM= EC，DM= EC，得出BM=DM,再由等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)證出∠BMD=90°即可；

(2)由點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)時(shí)間可求BE=12,根據(jù)勾股定理可得EC=15,進(jìn)而可得BM=,進(jìn)而可求的面積.

(1)∵∠ABC=90°,M為EC中點(diǎn)，

∴BM= EC=MC,

∴∠MBC=∠BCM,

∵DE⊥AC,M為EC中點(diǎn)，

∴DM= EC=MC,

∴∠MDC=∠MCD,

∴BM=DM,

∵AB=BC, ∠ABC=90°，

∴∠BCA=45°,

∵∠BME=∠MBC+∠BCM=2∠BCM,

∠DME=∠MDC+∠MCD=2∠MCD

∴∠BME+∠DME=2∠BCM+2∠MCD=2∠BCA=90°,

∴∠BMD=90°,

又∵DM=BM,

∴為等腰直角三角形.

(2) 當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)3秒時(shí)，AE=3×1=3cm,

∴BE=12-3=9cm,

在中，BE=9,BC=12,

∴EC= =15,

∴BM=DM= EC= ,

∴= = .

∴的面積為.