Question

【題目】已知拋物線y=+mx﹣2m﹣2與x軸交于A、B兩點，點A在點B的左邊，與y軸交于點C，

（1）當m=1時，求點A和點B的坐標；

（2）拋物線上有一點D（﹣1，n），若△ACD的面積為5，求m的值；

（3）P為拋物線上A、B之間一點（不包括A、B），PM⊥x軸于點M，求的值．

Answer 1

【答案】(1)A（﹣4，0），B（2，0）；(2)；(3)2.

【解析】

試題分析：（1）當m=1時，拋物線解析式為y=+x﹣4．然后解方程+x﹣4=0可得A、B的坐標；

（2）過點D作DE⊥AB于點E，交AC于點F，如圖，解方程+mx﹣2m﹣2=0得=2，=﹣2m﹣2，則A為（﹣2m﹣2，0），B（2，0），易得C（0，﹣2m﹣2），所以OA=OC=2m+2，則∠OAC=45°．利用D（﹣1，n）得到OE=1，AE=EF=2m+1．n=﹣3m﹣，再計算出DF=m+，利用三角形面積公式得到（m+）（2m+2）=5．解方程得到=，=﹣3，最后利用m≥0得到m=；

（3）由（2）得點A（﹣2m﹣2，0），B（2，0）．設點P的坐標為（p，q）．則AM=p+2m+2，BM=2﹣p，AMBM=﹣2mp+4m+4，PM=﹣q．再利用點P在拋物線上得到q=+mp﹣2m﹣2，所以AMBM=2 PM，從而得到的值．

試題解析：（1）當m=1時，拋物線解析式為y=+x﹣4．

當y=0時，+x﹣4=0，解得=﹣4，=2．

∴A（﹣4，0），B（2，0）；

（2）過點D作DE⊥AB于點E，交AC于點F，如圖，

當y=0時，+mx﹣2m﹣2=0，則（x﹣2）（x+2m+2）=0，

解得=2，=﹣2m﹣2，

∴點A的坐標為（﹣2m﹣2，0），B（2，0），

當x=0時，y=﹣2m﹣2，則C（0，﹣2m﹣2），

∴OA=OC=2m+2，

∴∠OAC=45°．

∵D（﹣1，n），

∴OE=1，

∴AE=EF=2m+1．

當x=﹣1時，n=﹣m﹣2m﹣2=﹣3m﹣，

∴DE=3m+，

∴DF=3m+﹣（2m+1）=m+，

又∵S△ACD=DFAO．

∴（m+）（2m+2）=5．

+3m﹣9=0，解得=，=﹣3．

∵m≥0，

∴m=；

（3）點A的坐標為（﹣2m﹣2，0），點B的坐標為（2，0）．

設點P的坐標為（p，q）．則AM=p+2m+2，BM=2﹣p，

AMBM=（p+2m+2）（ 2﹣p）=﹣2mp+4m+4，

PM=﹣q．

因為點P在拋物線上，

所以q=+mp﹣2m﹣2．

所以AMBM=2PM．

即=2．