Question

【題目】閱讀下面材料：

小騰遇到這樣一個問題：如圖1，在中，點(diǎn)在線段上．，，，．求的長．

小騰發(fā)現(xiàn)，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，通過構(gòu)造，經(jīng)過推理和計(jì)算能夠使問題得到解決（如圖2）．

發(fā)現(xiàn)：的度數(shù)為 ，的長為

探究：參考小騰思考問題的方法，解決問題：

如圖3，在四邊形中，，，，與交于點(diǎn)，，，求，的長．

Answer 1

【答案】發(fā)現(xiàn)：∠ACE的度數(shù)為75°，AC的長為3；探究：，

【解析】

發(fā)現(xiàn)：根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠E=∠BAD=75°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出，證明△ABD∽△DCE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出AC的長；

探究：過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F，證明△ABE∽△FDE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出EF、AF，根據(jù)正切的概念求出DF，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．

發(fā)現(xiàn)：∵CE∥AB，
∴∠E=∠BAD=75°，
∴∠ACE=180°-∠CAD-∠E=180°-75°-30°=75°，

∵∠E=75°，∴∠ACE=∠E，
∴AC=AE，
∵CE∥AB，BD=2DC，
∴△ABD∽△DCE，

∴

∴AD=2DE，
∴DE=1，∴AE=3，
∴AC=3；∴AD=2DE，
∵AE=AD+DE=3，
∴AC=AE=3；

故答案為：75，3

探究：過點(diǎn)D作DF⊥AC于F，如圖

∵ ∠BAC=90°，

∴ AB∥DF，∴ △ABE∽△FDE．

∴

∴EF=1 , AB=2DF．

∴AF=3

在Rt△ACD中，∠CAD=30°

設(shè)DF=x,則AD=2x，

由勾股定理得，解得，∴

∵ 在△ACD中，∠CAD=30°，∠ADC=75°,

∴ ∠ACD=75°，∴ AC=AD

∵AD=2DF ，AB=2DF

∴AD=AB

∴AB=AC