【題目】已知關(guān)于的一元二次方程:.
(1)求證:對于任意實數(shù),方程都有實數(shù)根;
(2)當(dāng)為何值時,方程的兩個根互為相反數(shù)?請說明理由.
【答案】(1)見解析;(2)1,理由見解析.
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式,可得出△=(t﹣3)2≥0,由此可證出:對于任意實數(shù)t,方程都有實數(shù)根;
(2)設(shè)方程的兩根分別為m、n,由方程的兩根為相反數(shù)結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系,即可得出m+n=t﹣1=0,解之即可得出結(jié)論.
試題解析:(1)證明:在方程x2﹣(t﹣1)x+t﹣2=0中,△=[﹣(t﹣1)]2﹣4×1×(t﹣2)=t2﹣6t+9=(t﹣3)2≥0,∴對于任意實數(shù)t,方程都有實數(shù)根;
(2)解:設(shè)方程的兩根分別為m、n,
∵方程的兩個根互為相反數(shù),∴m+n=t﹣1=0,解得:t=1.
∴當(dāng)t=1時,方程的兩個根互為相反數(shù).
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【題目】閱讀下面材料:
小騰遇到這樣一個問題:如圖1,在中,點在線段上.,,,.求的長.
小騰發(fā)現(xiàn),過點作,交的延長線于點,通過構(gòu)造,經(jīng)過推理和計算能夠使問題得到解決(如圖2).
發(fā)現(xiàn):的度數(shù)為 ,的長為
探究:參考小騰思考問題的方法,解決問題:
如圖3,在四邊形中,,,,與交于點,,,求,的長.
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【題目】如圖,已知:關(guān)于x的二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A(1,0)和點B,與y軸交于點C(0,3),拋物線的對稱軸與x軸交于點D.
(1)求二次函數(shù)的表達式;
(2)在y軸上是否存在一點P,使△PBC為等腰三角形.若存在,請求出點P的坐標(biāo);
(3)有一個點M從點A出發(fā),以每秒1個單位的速度在AB上向點B運動,另一個點N從點D與點M同時出發(fā),以每秒2個單位的速度在拋物線的對稱軸上運動,當(dāng)點M到 達點B時,點M、N同時停止運動,問點M、N運動到何處時,△MNB面積最大,試求出最大面積.
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【題目】如圖(1),在△ABC中,如果正方形PQMN的邊QM在BC上,頂點P,N分別在AB,AC上,那么我們稱這樣的正方形為“三角形內(nèi)接正方形”小波同學(xué)按數(shù)學(xué)家波利亞在《怎樣解題》中的方法進行操作:如圖(2),任意畫△ABC,在AB上任取一點P′,畫正方形P′Q′M′N′,使Q′,M′在BC邊上,N′在△ABC內(nèi),連結(jié)BN′并延長交AC于點N,畫NM⊥BC于點M,NP⊥NM交AB于點P,PQ⊥BC于點Q,得到四邊形PQMN,小波把線段BN稱為“波利亞線”,請幫助小波解決下列問題:
(1)四邊形PQMN是否是△ABC的內(nèi)接正方形,請證明你的結(jié)論;
(2)若△ABC為等邊三角形,邊長BC=6,求△ABC內(nèi)接正方形的邊長;
(3)如圖(3),若在“波利亞線”BN上截取NE=NM,連結(jié)EQ,EM.當(dāng)時,猜想∠QEM的度數(shù),并說明你的理由.
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【題目】某商場試銷一種成本為每件60元的服裝,規(guī)定試銷期間銷售單價不低于成本單價,且獲利不得高于45%,經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn),銷售量(件)與銷售單價(元)符合一次函數(shù),且時,;時,.
(1)求一次函數(shù)的表達式;
(2)若該商場獲得利潤為元,試寫出利潤與銷售單價之間的關(guān)系式;銷售單價定為多少元時,商場可獲得最大利潤,最大利潤是多少元?
(3)若該商場獲得利潤不低于500元,試確定銷售單價的范圍.
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【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,為坐標(biāo)原點.直線與拋物線同時經(jīng)過.
(1)求的值.
(2)點是二次函數(shù)圖象上一點,(點在下方),過作軸,與交于點,與軸交于點.求的最大值.
(3)在(2)的條件下,是否存在點,使和相似?若存在,求出點坐標(biāo),不存在,說明理由.
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【題目】我們定義:對于拋物線y,以y軸上的點M(0,m)為中心,作該拋物線關(guān)于點M對稱的拋物線y′,則我們稱拋物線y′為拋物線y關(guān)于點M(0,m)的“衍生拋物線”,點M為“衍生中心”.
(1)求拋物線y=x2-2關(guān)于原點O(0,0)的衍生拋物線的解析式.
(2)已知拋物線y=ax2+2ax-b(a≠0)
①若拋物線y的衍生拋物線為y′=bx2-2bx+a2(b≠0),兩拋物線有兩個交點,且恰好是它們的頂點,求a、b的值及衍生中心的坐標(biāo);
②若拋物線y關(guān)于點(0,k+12)的衍生拋物線為y1,其頂點為A1;關(guān)于點(0,k+22)的衍生拋物線為y2,其頂點為A2;……;關(guān)于點(0,k+n2)的衍生拋物線為yn,其頂點為An…(n為正整數(shù)).求AnAn+1的長(用含n的式子表示).
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【題目】一個不透明的紙箱里有分別標(biāo)有漢字“熱”“愛”“祖”“國”的四個小球,除漢字不同之外,小球沒有任何區(qū)別,每次摸球前先搖勻再摸球.
(1)若從中任取一個球,求摸出球上的漢字剛好是“國”字的概率;
(2)小紅從中任取球,不放回,再從中任取一球,請用樹狀圖或列表法,求小紅取出的兩個球上的漢字恰好能組成“愛國”或“祖國”的概率.
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【題目】一天晚上,小穎由路燈A下的B處向正東走到C處時,測得影子CD的長為1米.當(dāng)她繼續(xù)向正東走到D處時,測得此時影子DE的一端E到路燈A的仰角為45°.已知小穎的身高為1.5米,那么路燈AB的高度是多少米?( )
A.4米B.4.5米C.5米D.6米
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