Question

如圖，點B是x軸正半軸上一動點，點A是線段OB垂直平分線上的點，P為y軸正半軸上一動點，且∠OPB=∠OAB=α（α為銳角）．

（1）求證：∠AOP=∠ABP；
（2）如圖1，若∠AOB=60°，PO=2，求：①PB的長；②PA的長．
（3）已知，點A的縱坐標(biāo)是3，問當(dāng)點B在x軸正半軸上移動時（如圖2），PO+PB的長是否會發(fā)生改變？若不變，求出PO+PB的值；若會改變，請說明理由．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：計算題

分析：（1）由已知角相等，以及對頂角相等，利用三角形內(nèi)角和定理即可得證；
（2）由點A是線段OB垂直平分線上的點，得到OA=AB，再由∠AOB=60°，得到三角形AOB為等邊三角形，利用等邊三角形三內(nèi)角為60°得到∠OPB=∠OAB=∠OBA=60°，根據(jù)∠POB=90°，得到∠OBP=30°，利用30度所對的直角邊等于斜邊的一半得到PB=2OP，求出PB的長，且BM為平分線，利用三線合一得到BM垂直于OA，且AM=OM，即可得到PA=OP=2；
（3）PO+PB的長不變，理由為：延長BA交y軸于點D，過A作AH⊥x軸，AE⊥y軸，由OA=AB，利用等邊對等角得到∠AOB=∠ABO，再由∠ABO+∠ODB=∠AOB+∠AOD=90°，得到∠AOD=∠ODB，進而確定出∠ODB=∠ABP，利用等角對等邊得到AD=OA，BP=PD，即E為OD中點，即可確定出PO+PB的長．

解答：（1）證明：∵∠OPB=∠OAB，且∠OMP=∠AMB，
∴∠AOP=∠ABP；
（2）解：∵點A為OB垂直平分線上的點，
∴OA=AB，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB為等邊三角形，
∴∠OPB=∠OAB=∠OBA=60°，
∵∠POB=90°，
∴∠OBP=30°，
∴PB=2OP=4，BM平分∠ABO，
∴BM⊥OA，AM=OM，
∴PA=OP=2；
（3）解：PO+PB的長不變，理由為：
延長BA交y軸于點D，過A作AH⊥x軸，AE⊥y軸；
∵OA=AB，
∴∠AOB=∠ABO，
∵∠ABO+∠ODB=∠AOB+∠AOD=90°，
∴∠AOD=∠ODB，
∴∠ODB=∠ABP，
∴AD=OA，BP=PD，
∴E為OD中點，
∵OE=AH=3，
∴PO+PB=PO+PD=OP+PE+DE=2AH=6．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，以及線段垂直平分線定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．