Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，點(diǎn)E是邊CD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)C、點(diǎn)D不重合），連接AE，作AF⊥AE，交直線CB于點(diǎn)F，連接EF，交邊AB于點(diǎn)G．設(shè)DE=x，BF=y．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并且直接寫出x的取值范圍；
（2）如果△AEF∽△DEA，試證明：BF=AD；
（3）當(dāng)E點(diǎn)在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△AEG能否成為以EG為一腰的等腰三角形？如果能，試求出DE的長(zhǎng)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）由矩形的性質(zhì)推出∠BAD=∠D=∠ABC=90°，即得∠D=∠ABF，再由AF⊥AE得出∠EAF=∠BAD=90°，然后由∠EAF=∠BAF+∠BAE，∠BAD=∠DAE+∠BAE，得出∠DAE=∠BAF，由∠D=∠ABF，∠DAE=∠BAF，得△DAE∽△BAF，再由三角形相似的性質(zhì)得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)解析式，從而求出x的取值范圍．
（2）由△AEF∽△DEA，△DAE∽△BAF．可以得到對(duì)應(yīng)的角相等，推導(dǎo)出線段相等，利用線段成比例確定點(diǎn)G為線段EF的中點(diǎn)，借用比例線段即可得到答案．
（3）當(dāng)點(diǎn)E在邊CD上移動(dòng)時(shí)，△AEG能成為以EG為一腰的等腰三角形，此時(shí)可以推斷出兩種情況，一一推斷即可．

解答：解：（1）在矩形ABCD中，∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AD=BC=6．
即得∠D=∠ABF．
∵AF⊥AE，
∴∠EAF=∠BAD=90°．
又∵∠EAF=∠BAF+∠BAE，∠BAD=∠DAE+∠BAE，
∴∠DAE=∠BAF．
于是，由∠D=∠ABF，∠DAE=∠BAF，
得△DAE∽△BAF．
∴

AD

AB

=

DE

EF

∵DE=x，BF=y，
∴

3

4

=

x

y

，
∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式是y=

4

3

x，0＜x＜4．

（2）∵△AEF∽△DEA，
∴∠EAF=∠D，∠AFE=∠DAE，∠FAE=∠DEA，
由（1）知道△DAE∽△BAF
∴∠FAG=∠AFG，∠GAE=∠GEA，
∴GF=GA=GE，
在矩形ABCD中，AB∥CD，

FG

GE

=

FB

BC

=1．
即得FB=BC．
又∵AD=BC，
∴FB=AD；

（3）當(dāng)E點(diǎn)在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△AEG能成為以EG為一腰的等腰三角形．
（a）當(dāng)GE=GA時(shí)，∠GAE=∠GEA，
∠GAE+∠FAG=90°，
∠GEA+∠AFG=90°，
∴∠AFG=∠FAG，所以GA=GF，
所以G是FE的中點(diǎn)，
由（2）知道FB=BC=6，
y關(guān)于x的函數(shù)解析式是y=

4

3

x，
∴DE=

9

2

．
（b）當(dāng)EA=EG時(shí)，△AFB∽△FGB，
GB=

2

9

x²，
∵GB∥EC，
∴CE=5，
∴DE=3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了矩形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，一次函數(shù)解析式的求法也是解題的關(guān)鍵．