Question

如圖，P是正方形ABCD內(nèi)一點，以正方形ABCD的一條邊做為對角線，點P與這條邊的兩個端點作平行四邊形，依次得點E、F、G、H，求證：四邊形EFGH是正方形．

Answer 1

考點：正方形的判定與性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：如圖，連接BD、AC．則AC=BD．通過證明△AHE≌△PDB（SAS），推知HE=BD，∠AHE=∠PDB，則HE∥DB．易證四邊形EFGH是平行四邊形．同理，EF∥HG∥AC，EF=AC=HG，所以EH=EF，EH⊥EF，故四邊形EFGH是正方形．

解答：證明：如圖，連接BD、AC．則AC=BD．
∵四邊形AHDP和四邊形AEBP為平行四邊形，
∴AH=DP，AE=BP．
又∵∠HAP+∠APD=180°，∠EAP+∠BPA=180°．
∴∠HAE=∠BPD，
在△AHE與△PDB中，

AH=PD ∠HAE=∠DPB AE=PB

，
∴△AHE≌△PDB（SAS），
∴HE=BD，∠AHE=∠PDB，
又∵AH∥PD，
∴HE∥DB．
同理，GF=BD，GF∥BD，
∴HE=GF，HE∥GF∥BD，
∴四邊形EFGH是平行四邊形．
同理，EF∥HG∥AC，EF=AC=HG，
又AC⊥BD，
∴EH=EF，EH⊥EF，
∴四邊形EFGH是正方形．

點評：本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)．證得EF⊥EH是解題的難點．