Question

10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A（8，0），B（0，6），動點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個單位的速度運(yùn)動，同時動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BO方向以每秒2個單位的速度運(yùn)動，過點(diǎn)P作PC⊥AB于點(diǎn)C，連接PQ，CQ，以PQ，CQ為鄰邊構(gòu)造?PQCD，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t秒．
（1）當(dāng)點(diǎn)Q在線段OB上時，用含t的代數(shù)式表示PC，AC的長；
（2）在運(yùn)動過程中，設(shè)△OPQ的面積為S．
①當(dāng)點(diǎn)D落在x軸上時，求出滿足條件的t的值；
②若點(diǎn)D落在△ABO內(nèi)部（不包括邊界）時，直接寫出S的取值范圍；
（3）作點(diǎn)Q關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)Q′，連接CQ′，在運(yùn)動過程中，是否存在某時刻使過A，P，C三點(diǎn)的圓與△CQQ′三邊中的一條邊相切？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先求出AB，在RT△ACP中，PA=8-t，根據(jù)sin∠OAB=$\frac{PC}{PA}$=$\frac{OB}{AB}$，求出PC，根據(jù)cos∠OAB=$\frac{OA}{AB}$=$\frac{AC}{PA}$，求出AC．
（2））①當(dāng)D在x軸上時，如圖2中，由QC∥OA，得$\frac{BQ}{BO}$=$\frac{BC}{AB}$，由此即可解決問題．
②當(dāng)點(diǎn)D在AB上時，如圖3中，由PQ∥AB，得$\frac{OQ}{OB}$=$\frac{OP}{OA}$，求出時間t，求出①②兩種情形時的△POQ的面積即可解決問題．
（3）如圖4中，當(dāng)QC與⊙M相切時，則QC⊥CM，首先證明QB=QC，作QN∠BC于N，根據(jù)cos∠ABO=$\frac{BO}{AB}$=$\frac{BN}{BQ}$，列出方程即可解決問題，當(dāng)CQ′是⊙M切線時，方法類似．

解答 解：（1）如圖1中，

∵OA=8，OB=6，
∴AB=$\sqrt{O{B}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10．
在RT△ACP中，PA=8-t，
∵sin∠OAB=$\frac{PC}{PA}$=$\frac{OB}{AB}$，
∴PC=$\frac{3}{5}$（8-t），
∵cos∠OAB=$\frac{OA}{AB}$=$\frac{AC}{PA}$，
∴AC=$\frac{4}{5}$（8-t）．
（2）①當(dāng)D在x軸上時，如圖2中，

∵QC∥OA，
∴$\frac{BQ}{BO}$=$\frac{BC}{AB}$，
∴$\frac{2t}{6}$=$\frac{10-\frac{4}{5}（8-t）}{10}$，
解得t=$\frac{27}{19}$．
∴t=$\frac{27}{19}$時，點(diǎn)D在x軸上．
②當(dāng)點(diǎn)D在AB上時，如圖3中，

∵PQ∥AB，
∴$\frac{OQ}{OB}$=$\frac{OP}{OA}$，
∴$\frac{6-2t}{6}$=$\frac{t}{8}$，
∴t=$\frac{24}{11}$，
當(dāng)t=$\frac{27}{19}$時，S=$\frac{1}{2}$•（6-2t）•t=$\frac{810}{361}$，
當(dāng)t=$\frac{24}{11}$時，S=$\frac{1}{2}$•（6-2t）•t=$\frac{216}{121}$，
∴點(diǎn)D落在△ABO內(nèi)部（不包括邊界）時，直接寫出S的取值范圍
$\frac{216}{121}$＜S＜$\frac{810}{361}$．
（3）如圖4中，

∵Q（0，6-2t），Q′（0，2t-6），M（$\frac{8+t}{2}$，0），
當(dāng)QC與⊙M相切時，則QC⊥CM，
∴∠QCM=90°，
∴∠QCP+∠PCM=90°，∵∠QCP+∠QCB=90°，
∴∠BCQ=∠PCM=∠CPM，
∵∠CPM+∠PAC=90°，∠OBA+∠OAB=90°，
∴∠APC=∠OBA，
∴∠QBC=∠QCB，
∴BQ=CQ，作QN∠BC于N，
∵cos∠ABO=$\frac{BO}{AB}$=$\frac{BN}{BQ}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}[10-\frac{4}{5}（8-t）]}{2t}$=$\frac{6}{10}$，
解得t=$\frac{9}{4}$，
當(dāng)CQ′是⊙M切線時，同理可得$\frac{\frac{1}{2}[10-\frac{4}{5}（8-t）]}{12-2t}$=$\frac{6}{10}$，解得t=$\frac{27}{8}$．
∴t=$\frac{9}{4}$或$\frac{27}{8}$時，過A，P，C三點(diǎn)的圓與△CQQ′三邊中的一條邊相切．

點(diǎn)評 本題考查圓的綜合題、銳角三角函數(shù)、平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是求得點(diǎn)D在特殊位置時的時間，學(xué)會利用方程解決問題，屬于中考壓軸題．