Question

18．如圖（1），∠AOB=45°，點P、Q分別是邊OA，OB上的兩點，且OP=2cm．將∠O沿PQ折疊，點O落在平面內(nèi)點C處．
（1）①當PC∥QB時，OQ=2cm；
②當PC⊥QB時，求OQ的長．
（2）當折疊后重疊部分為等腰三角形時，求OQ的長．

Answer 1

分析 （1）①由平行線的性質(zhì)得出∠O=∠CPA，由折疊的性質(zhì)得出∠C=∠O，OP=CP，證出∠CPA=∠C，得出OP∥QC，證出四邊形OPCQ是菱形，得出OQ=OP=2cm即可；
②當PC⊥QB時，分兩種情況：設(shè)OQ=xcm，證出△OPM是等腰直角三角形，得出OM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OP=$\sqrt{2}$，QM=$\sqrt{2}$-x，證出△CQM是等腰直角三角形，得出QC=$\sqrt{2}$QM，得出方程x=$\sqrt{2}$（$\sqrt{2}$-x），解方程即可；（ii）同（i）得出：OQ=2$\sqrt{2}$+2；即可得出結(jié)論；
（2）當折疊后重疊部分為等腰三角形時，符合條件的點Q共有5個；點C在∠AOB的內(nèi)部或一邊上時，由折疊的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及解直角三角形即可求出OQ的長；點C在∠AOB的外部時，同理求出OQ的長即可．

解答 解：（1）①當PC∥QB時，∠O=∠CPA，
由折疊的性質(zhì)得：∠C=∠O，OP=CP，
∴∠CPA=∠C，
∴OP∥QC，
∴四邊形OPCQ是平行四邊形，
∴四邊形OPCQ是菱形，
∴OQ=OP=2cm；
故答案為：2cm；
②當PC⊥QB時，分兩種情況：
（i）如圖1所示：設(shè)OQ=xcm，
∵∠O=45°，
∴△OPM是等腰直角三角形，
∴OM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OP=$\sqrt{2}$，
∴QM=$\sqrt{2}$-x，
由折疊的性質(zhì)得：∠C=∠O=45°，CQ=OQ=x，
∴△CQM是等腰直角三角形，
∴QC=$\sqrt{2}$QM
∴x=$\sqrt{2}$（$\sqrt{2}$-x），
解得：x=2$\sqrt{2}$-2，
即OQ=2$\sqrt{2}$-2；
（ii）如圖2所示：同（i）得：OQ=2$\sqrt{2}$+2；
綜上所述：當PC⊥QB時，OQ的長為2$\sqrt{2}$-2，或2$\sqrt{2}$+2．
（2）當折疊后重疊部分為等腰三角形時，符合條件的點Q共有5個；
①點C在∠AOB的內(nèi)部時，四邊形OPCQ是菱形，OQ=OP=2cm；
②當點C在∠AOB的一邊上時，△OPQ是等腰直角三角形，OQ=$\sqrt{2}$或2$\sqrt{2}$；
③當點C在∠AOB的外部時，分兩種情況：
（i）如圖3所示：PM=PQ，則∠PMQ=∠PQM=∠O+∠OPQ，
由折疊的性質(zhì)得：∠OPQ=∠MPQ，
設(shè)∠OPQ=∠MPQ=x，
則∠PMQ=∠PQM=45°+x，
在△OPM中，由三角形內(nèi)角和定理得：45°+x+x+45°+x=180°，
解得：x=30°，
∴∠OPQ=30°，
作QN⊥OP于N，設(shè)ON=a，
∵∠O=45°，
則QN=ON=a，OQ=$\sqrt{2}$a，PN=$\sqrt{3}$QN=$\sqrt{3}$a，
∵ON+PN=OP，
∴a+$\sqrt{3}$a=2，
解得：a=$\sqrt{3}$-1，
∴OQ=$\sqrt{2}$（$\sqrt{3}$-1）=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$；
（ii）如圖4所示：PQ=MQ，作QN⊥OA于N，
同①得：OQ=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$；
綜上所述：當折疊后重疊部分為等腰三角形時，OQ的長為2cm或$\sqrt{2}$cm或2$\sqrt{2}$cm，或（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$）cm或（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）cm．

點評 本題是三角形綜合題目，考查了折疊的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等知識；本題綜合性強，有一定難度，熟練掌握折疊的性質(zhì)，證明三角形是等腰直角三角形是解決問題的關(guān)鍵，注意分類討論．