Question

15．已知一次函數(shù)y=-x+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A、與y軸交于點(diǎn)B，BC∥x軸，且∠ACB的正切值為3．
（1）求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；
（2）如果二次函數(shù)圖象經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，試求該拋物線的解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）如果在y軸上有一點(diǎn)D，使得△ABD與△ABC相似，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一次函數(shù)y=-x+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A、與y軸交于點(diǎn)B，BC∥x軸，且∠ACB的正切值為3，可以分別求得點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)（1）求得點(diǎn)點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，可以求得過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)題意可知要使得△ABD與△ABC相似，存在兩種情況，計(jì)算出兩種情況下點(diǎn)D的坐標(biāo)即可解答本題．

解答 解：（1）∵一次函數(shù)y=-x+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A、與y軸交于點(diǎn)B，
將y=0代入y=-x+3得x=3，將x=0代入y=-x+3得y=3，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3），
又∵BC∥x軸，且∠ACB的正切值為3，作AE⊥BC于點(diǎn)E，如右圖所示，
∴AE=OB=3，OA=BE=3，3=$\frac{AE}{CE}$，
解得，CE=1，
∴BC=BE+CE=4，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（4，3），
即點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（4，3）；
（2）設(shè)過點(diǎn)A（3，0）、B（0，3）、C（4，3）三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
則$\left\{\begin{array}{l}{a×{3}^{2}+3b+c=0}\\{c=3}\\{a×{4}^{2}+4b+c=3}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
即過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式是y=x²-4x+3，
∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是（2，-1）；
（3）當(dāng)點(diǎn)D在y軸上且在點(diǎn)B的上方時(shí)，則∠ABD＞90°，而△ABC的三個(gè)角都是銳角，故此種情況不存在；
當(dāng)點(diǎn)D在y軸上且在點(diǎn)B的下方時(shí)，
∵∠OBA=∠ABC=45°，△ABD∽△ABC，
∴$\frac{AB}{AB}=\frac{BD}{BC}$或$\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB}$，
又∵BC=4，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}=3\sqrt{2}$，
∴BD=BC=4或BD=$\frac{A{B}^{2}}{BC}=\frac{（3\sqrt{2}）^{2}}{4}=\frac{9}{2}$，
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3），
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-1）或（0，-$\frac{3}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，會(huì)求函數(shù)的解析式，可以將拋物線的解析式化為頂點(diǎn)式，利用分類討論的數(shù)學(xué)思想解答問題．