【題目】愛好思考的小明在探究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系查閱資料時(shí),發(fā)現(xiàn)了“中垂三角形”,即兩條中線相互垂直的三角形“中垂三角形”,如圖(1)、圖(2)、圖(3)中,AM、BN是△ABC的中線,AM⊥BN于點(diǎn)P,像△ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”.設(shè)BC=a,AC=b,AB=c.
(特例研究)
(1)如圖1,當(dāng)tan∠PAB=1,c=4時(shí),a=b= ;
(歸納證明)
(2)請(qǐng)你觀察(1)中的計(jì)算結(jié)果,猜想a2、b2、c2三者之間的關(guān)系,用等式表示出來,并利用圖2證明你的結(jié)論;
(拓展證明)
(3)如圖4,ABCD中,E、F分別是AD、BC的三等分點(diǎn),且AD=3AE,BC=3BF,連接AF、BE、CE,且BE⊥CE于E,AF交BE相較于點(diǎn)G,AD=3,AB=3,求AF的長.
【答案】(1);(2)a2+b2=5c2,證明見解析;(3)4
【解析】
(1)首先證明△APB,△PMN都是等腰直角三角形,求出PA、PB、PN、PM,再利用勾股定理即可解決問題.
(2)結(jié)論a2+b2=5c2.設(shè)MP=x,NP=y,則AP=2x,BP=2y,利用勾股定理分別求出a2、b2、c2即可解決問題.
(3)取AB中點(diǎn)H,連接FH并且延長交DA的延長線于P點(diǎn),首先證明△ABF是中垂三角形,利用(2)中結(jié)論列出方程即可解決問題.
(1)解:如圖中,
∵CN=AN,CM=BM,
∴MN∥AB,MN=AB=2,
∵tan∠PAB=1,
∴∠PAB=∠PBA=∠PNM=∠PMN=45°,
∴PN=PM=2,PB=PA=4,
∴AN=BM=,
∴b=AC=2AN=4,a=BC=4,
∴,
故答案為:;
(2)結(jié)論a2+b2=5c2.
證明:如圖中,
連接MN.
∵AM、BN是中線,
∴MN∥AB,MN=AB,
∴△MPN∽△APB,
∴,
設(shè)MP=x,NP=y,則AP=2x,BP=2y,
∴a2=BC2=4BM2=4(MP2+BP2)=4x2+16y2,
b2=AC2=4AN2=4(PN2+AP2)=4y2+16x2,
c2=AB2=AP2+BP2=4x2+4y2,
∴a2+b2=20x2+20y2=5(4x2+4y2)=5c2.
(3)解:如圖中,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AE∥BF,
∴,
在△AGE和△FGB中,
,
∴△AGE≌△FGB,
∴AG=FG,取AB中點(diǎn)H,連接FH并且延長交DA的延長線于P點(diǎn),
同理可證△APH≌△BFH,
∴AP=BF,PE=2BF=CF,
即PE∥CF,PE=CF,
∴四邊形CEPF是平行四邊形,
∴FP∥CE,
∵BE⊥CE,
∴FP⊥BE,即FH⊥BG,
∴△ABF是中垂三角形,
由(2)可知AB2+AF2=5BF2,
∵AB=3,BF=AD=,
∴9+AF2=5×,
∴AF=4.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知△ABC是邊長為的等邊三角形.將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角θ(0°<θ<180°),得到△ADE,BD和EC所在直線相交于點(diǎn)O.
(1)如圖a,當(dāng)θ=20°時(shí),判斷△ABD與△ACE是否全等?并說明理由;
(2)當(dāng)△ABC旋轉(zhuǎn)到如圖b所在位置時(shí)(60°<θ<120°),求∠BOE的度數(shù);
(3)在θ從60°到120°的旋轉(zhuǎn)過程中,點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)的軌跡長為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了了解居民的環(huán)保意識(shí),社區(qū)工作人員在光明小區(qū)隨機(jī)抽取了若干名居民開展主題為“打贏藍(lán)天保衛(wèi)戰(zhàn)”的環(huán)保知識(shí)有獎(jiǎng)問答活動(dòng),并用得到的數(shù)據(jù)繪制了如圖條形統(tǒng)計(jì)圖(得分為整數(shù),滿分為10分,最低分為6分)
請(qǐng)根據(jù)圖中信息,解答下列問題:
(1)本次調(diào)查一共抽取了 名居民;
(2)求本次調(diào)查獲取的樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù);
(3)社區(qū)決定對(duì)該小區(qū)500名居民開展這項(xiàng)有獎(jiǎng)問答活動(dòng),得10分者設(shè)為“一等獎(jiǎng)”,請(qǐng)你根據(jù)調(diào)查結(jié)果,幫社區(qū)工作人員估計(jì)需準(zhǔn)備多少份“一等獎(jiǎng)”獎(jiǎng)品?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解“停課不停學(xué)”期間,學(xué)生對(duì)線上學(xué)習(xí)方式的偏好情況,某校隨機(jī)拍取40名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查,其統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表:
最喜歡的線上學(xué)習(xí)方式(沒人最多選一種) | 人數(shù) |
直播 | 10 |
錄播 | |
資源包 | 5 |
線上答疑 | 8 |
合計(jì) | 40 |
(1) ;
(2)若將選取各種“最喜歡的線上學(xué)習(xí)方式”的人數(shù)所占比例繪制成扇形統(tǒng)計(jì)圖,求“直播"對(duì)應(yīng)扇形的圓心角度數(shù);
(3)根據(jù)調(diào)查結(jié)果估計(jì)該校10000名學(xué)生中,最喜歡“線上答疑”的學(xué)生人數(shù);
(4)在最喜歡“資源包”的學(xué)生中,有2名男生,3名女生.現(xiàn)從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生介紹學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),求恰好抽到1名男生和1名女生的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,∠1=∠2,AD=AE,∠B=∠ACE,且B、C、D三點(diǎn)在一條直線上,
(1)試說明△ABD與△ACE全等的理由;
(2)如果∠B=60°,試說明線段AC、CE、CD之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明、小聰參加了跑的5期集訓(xùn),每期集訓(xùn)結(jié)束時(shí)進(jìn)行測(cè)試,根據(jù)他們的集訓(xùn)時(shí)間、測(cè)試成績(jī)繪制成如圖的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖.
根據(jù)圖中信息,有下面四個(gè)推斷:
①這5期的集訓(xùn)共有56天;
②小明5次測(cè)試的平均成績(jī)11.66秒;
③從集訓(xùn)時(shí)間看,集訓(xùn)時(shí)間不是越長越好,集訓(xùn)時(shí)間過長,可能造成勞累,導(dǎo)致成績(jī)下滑;
④從測(cè)試成績(jī)看,兩人的最好成績(jī)都是在第4期出現(xiàn),建議集訓(xùn)時(shí)間定為14天.
你認(rèn)為合理的推斷是__________(填寫你認(rèn)為正確的推斷序號(hào)).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義:有三條邊相等的四邊形稱為三等邊四邊形.
(1)如圖①,平行四邊形中,對(duì)角線平分,將線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度至,連接.
①求證:四邊形是三等邊四邊形;
②如圖②,連接,.求證:;
(2)如圖,在(1)的條件下,設(shè)與交于點(diǎn),,,,求以,和為邊的三角形的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲地捐贈(zèng)了600噸物資支援武漢抗擊新冠肺炎,準(zhǔn)備安排A、B兩種類型的貨車把這批物資從甲地快速送到武漢,若安排A型貨車5輛、B型貨車6輛,一共需補(bǔ)貼油費(fèi)3800元;若安排A型貨車3輛、B型貨車2輛,一共需補(bǔ)貼油費(fèi)1800元.
(1)從甲地到武漢,A、B兩種類型貨車每輛各需補(bǔ)貼油費(fèi)多少元?
(2)A型貨車每輛可裝15噸物資,B型貨車每輛可裝12噸物資,若安排的B型貨車的數(shù)量是A型貨車的2倍還多4輛,且A型車最多可安排18輛.運(yùn)送這批物資共有哪些安排,其中補(bǔ)貼的總油費(fèi)最少是多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B(5,0),與y軸交于點(diǎn)C,拋物線的頂點(diǎn)為M(2,-9),連接BM,點(diǎn)P為線段BM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
(1)求二次函數(shù)的解析式.
(2)過點(diǎn)P作x軸的垂線,垂足為點(diǎn)Q,求四邊形ACPQ面積的最大值.
(3)是否存在點(diǎn)P,使得以P、M、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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