Question

【題目】定義：有三條邊相等的四邊形稱為三等邊四邊形．

（1）如圖①，平行四邊形中，對(duì)角線平分，將線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度至，連接．

①求證：四邊形是三等邊四邊形；

②如圖②，連接，．求證：；

（2）如圖，在（1）的條件下，設(shè)與交于點(diǎn)，，，，求以，和為邊的三角形的面積．

Answer 1

【答案】（1）①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）①先證明四邊形是菱形，得到，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到，問(wèn)題得證；

②如圖②，延長(zhǎng)至點(diǎn)，得到，得到，根據(jù)菱形性質(zhì)得到，問(wèn)題得證；

（2）如圖③，連接，，與交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，先求出長(zhǎng)度，判斷以為邊的三角形為直角三角形，計(jì)算面積即可．

解：（1）①證明：如圖①，∵四邊形是平行四邊形，

∴，

∴，

∵半分，

∴，

∴，

∴，

∴平行四邊形是菱形，

∴．

∵，

∴，

∴四邊形是三等邊四邊形．

②證明：如圖②，延長(zhǎng)至點(diǎn)，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

即，

∵四邊形是菱形，

∴，

∴．

（2）如圖③，連接，，與交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵四邊形是菱形，∴，，，．

在中，，，

∴，

∴，，

∴．

∵，∴，∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，，

∴．

在中，，

∴，即，

∴，，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

．

∵垂直平分，∴，

∴，

∴，

∴以為邊的三角形為．