【題目】如圖,直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,且∠ABC=60°,AB=BC,△ACD的外接圓⊙O交BC于E點(diǎn),連接DE并延長(zhǎng),交AC于P點(diǎn),交AB延長(zhǎng)線于F.
(1)求證:CF=DB;
(2)當(dāng)AD= 時(shí),試求E點(diǎn)到CF的距離.
【答案】
(1)證明:連結(jié)AE,如圖,
∵∠ABC=60°,AB=BC,
∴△ABC為等邊三角形,
∵AB∥CD,∠DAB=90°,
∴∠ADC=∠DAB=90°,
∴AC為⊙O的直徑,
∴∠AEC=90°,即AE⊥BC,
∴BE=CE,
CD∥BF,
∴∠DCE=∠FBE,
在△DCE和△FBE中,
,
∴△DCE≌△FBE(ASA),
∴DE=FE,
∴四邊形BDCF為平行四邊形,
∴CF=DB
(2)解:作EH⊥CF于H,如圖,
∵△ABC為等邊三角形,
∴∠BAC=60°,
∴∠DAC=30°,
在Rt△ADC中,AD= ,
∴DC= AD=1,AC=2CD=2,
∴AB=AC=2,BF=CD=1,
∴AF=3,
在Rt△ABD中,BD= = ,
在Rt△ADF中,DF= =2 ,
∴CF=BD= ,EF= DF= ,
∵AE⊥BC,
∴∠CAE=∠BAE=30°,
∴∠EDC=∠CAE=30°,
而∠DCA=∠BAC=60°,
∴∠DPC=90°,
在Rt△DPC中,DC=1,∠CDP=30°,
∴PC= DC= ,
∵∠HFE=∠PFC,
∴Rt△FHE∽R(shí)t△FPC,
∴ ,即 = ,
∴EH= ,
即E點(diǎn)到CF的距離為 .
【解析】(1)連結(jié)AE,由∠ABC=60°,AB=BC可判斷△ABC為等邊三角形,由AB∥CD,∠DAB=90°得∠ADC=∠DAB=90°,則根據(jù)圓周角定理可得到AC為⊙O的直徑,則∠AEC=90°,即AE⊥BC,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得BE=CE,再證明△DCE≌△FBE,得到DE=FE,于是可判斷四邊形BDCF為平行四邊形,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得CF=DB;(2)作EH⊥CF于H,由△ABC為等邊三角形得∠BAC=60°,則∠DAC=30°,在Rt△ADC中,根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得DC= AD=1,AC=2CD=2,則AB=AC=2,BF=CD=1,AF=3,然后利用勾股定理計(jì)算出BD= ,DF=2 ,所以CF=BD= ,EF= DF= ,接著根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)由AE⊥BC得∠CAE=∠BAE=30°,根據(jù)圓周角定理得∠EDC=∠CAE=30°,而∠DCA=∠BAC=60°,得到∠DPC=90°,在Rt△DPC中,根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得PC= DC= ,再證明Rt△FHE∽R(shí)t△FPC,利用相似比可計(jì)算出EH.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD是∠ABC的平分線,CD=5cm,求AB的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,如圖,在ABCD中,延長(zhǎng)DA到點(diǎn)E,延長(zhǎng)BC到點(diǎn)F,使得AE=CF,連接EF,分別交AB,CD于點(diǎn)M,N,連接DM,BN.
(1)求證:△AEM≌△CFN;
(2)求證:四邊形BMDN是平行四邊形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,O是直線AB上的一點(diǎn),C是直線AB外的一點(diǎn),OD是∠AOC的平分線,
OE是∠COB的平分線.
(1)已知∠1=23°,求∠2的度數(shù);
(2)無(wú)論點(diǎn)C的位置如何改變,圖中是否存在一個(gè)角,它的大小始終不變(∠AOB除外)?如果存在,求出這個(gè)角的度數(shù);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】合并下列多項(xiàng)式中的同類項(xiàng):
(1)3x2+4x﹣2x2﹣x+x2﹣3x﹣1;
(2)﹣a2b+2a2b;
(3)a3﹣a2b+ab2+a2b﹣2ab2+b3;
(4)2a2b+3a2b﹣a2b
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)y= x2+bx+c的圖象與x軸交于A(3,0),B(﹣1,0),與y軸交于點(diǎn)C.若點(diǎn)P,Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā),都以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度分別沿AB,AC邊運(yùn)動(dòng),其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí),另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).
(1)求該二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí),點(diǎn)Q停止運(yùn)動(dòng),這時(shí),在x軸上是否存在點(diǎn)E,使得以A,E,Q為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形?若存在,請(qǐng)求出E點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)當(dāng)P,Q運(yùn)動(dòng)到t秒時(shí),△APQ沿PQ翻折,點(diǎn)A恰好落在拋物線上D點(diǎn)處,請(qǐng)判定此時(shí)四邊形APDQ的形狀,并求出D點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,三角形ABC三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為A(1,2),B(4,3),C(3,1).
(1)三角形A1B1C1向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,恰好得到三角形ABC,試寫(xiě)出三角形A1B1C1三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).
(2)求△ABC的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】畫(huà)圖并計(jì)算:已知線段AB=2 cm,延長(zhǎng)線段AB至點(diǎn)C,使得2BC=AB,再反向延長(zhǎng)AC至點(diǎn)D,使得AD=AC.
(1)準(zhǔn)確地畫(huà)出圖形,并標(biāo)出相應(yīng)的字母;
(2)線段DC的中點(diǎn)是哪個(gè)?線段AB的長(zhǎng)是線段DC長(zhǎng)的幾分之幾?
(3)求出線段BD的長(zhǎng)度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形,P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn),由A向C運(yùn)動(dòng)(與A、C不重合),Q是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),與點(diǎn)P同時(shí)以相同的速度由B向CB延長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)(Q不與B重合),過(guò)P作PE⊥AB于E,連接PQ交AB于D.
(1)當(dāng)∠BQD=30°時(shí),求AP的長(zhǎng);
(2)當(dāng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段ED的長(zhǎng)是否發(fā)生變化?如果不變,求出線段ED的長(zhǎng);如果變化請(qǐng)說(shuō)明理由.
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