【題目】如圖,△ABC是邊長為6的等邊三角形,P是AC邊上一動點,由A向C運動(與A、C不重合),Q是CB延長線上一點,與點P同時以相同的速度由B向CB延長線方向運動(Q不與B重合),過P作PE⊥AB于E,連接PQ交AB于D.
(1)當∠BQD=30°時,求AP的長;
(2)當運動過程中線段ED的長是否發(fā)生變化?如果不變,求出線段ED的長;如果變化請說明理由.

【答案】
(1)解:∵△ABC是邊長為6的等邊三角形,

∴∠ACB=60°,

∵∠BQD=30°,

∴∠QPC=90°,

設(shè)AP=x,則PC=6﹣x,QB=x,

∴QC=QB+BC=6+x,

∵在Rt△QCP中,∠BQD=30°,

∴PC= QC,即6﹣x= (6+x),解得x=2,

∴AP=2


(2)解:當點P、Q同時運動且速度相同時,線段DE的長度不會改變.理由如下:

作QF⊥AB,交直線AB于點F,連接QE,PF,

又∵PE⊥AB于E,

∴∠DFQ=∠AEP=90°,

∵點P、Q速度相同,

∴AP=BQ,

∵△ABC是等邊三角形,

∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°,

在△APE和△BQF中,

∵∠AEP=∠BFQ=90°,

∴∠APE=∠BQF,

∴△APE≌△BQF(AAS),

∴AE=BF,PE=QF且PE∥QF,

∴四邊形PEQF是平行四邊形,

∴DE= EF,

∵EB+AE=BE+BF=AB,

∴DE= AB,

又∵等邊△ABC的邊長為6,

∴DE=3,

∴點P、Q同時運動且速度相同時,線段DE的長度不會改變.


【解析】(1)由△ABC是邊長為6的等邊三角形,可知∠ACB=60°,再由∠BQD=30°可知∠QPC=90°,設(shè)AP=x,則PC=6﹣x,QB=x,在Rt△QCP中,∠BQD=30°,PC= QC,即6﹣x= (6+x),求出x的值即可;(2)作QF⊥AB,交直線AB于點F,連接QE,PF,由點P、Q做勻速運動且速度相同,可知AP=BQ,再根據(jù)全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF,再由AE=BF,PE=QF且PE∥QF,可知四邊形PEQF是平行四邊形,進而可得出EB+AE=BE+BF=AB,DE= AB,由等邊△ABC的邊長為6可得出DE=3,故當點P、Q運動時,線段DE的長度不會改變.

練習冊系列答案
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【題目】如圖,直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,且∠ABC=60°,AB=BC,△ACD的外接圓⊙O交BC于E點,連接DE并延長,交AC于P點,交AB延長線于F.
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(2)當AD= 時,試求E點到CF的距離.

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(2)若去掉已知條件的“∠DAB=60°,上述的結(jié)論還成立嗎 ”若成立,請寫出證明過程;若不成立,請說明理由.

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【題目】如圖,4張背面完全相同的紙牌(用①、②、③、④表示),在紙牌的正面分別寫有四個不同的條件,小明將這4張紙牌背面朝上洗勻后,先隨機摸出一張(不放回),再隨機摸出一張.
(1)用樹狀圖(或列表法)表示兩次摸牌出現(xiàn)的所有可能結(jié)果;
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(1)填空:記為 , ), 記為 , );

(2)若甲蟲的行走路線為:,請你計算甲蟲走過的路程.

(3)若這只甲蟲去Q的行走路線依次為:A→M(+2,+2),M→N(+2,-1),N→P(-2,+3),P→Q(-1,-2),請依次在圖2標出點M、N、P、Q的位置.

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【題目】把下列各數(shù)填在相應(yīng)的集合里:

2018,1,-1,-2014,0.5,,-,-0.75,0,20%,

整數(shù)集合:{____________________…};正分數(shù)集合:{________________…};

負分數(shù)集合:{________________…};正數(shù)集合:{__________________…};

負數(shù)集合:{__________________…}.

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A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

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(1)當m= 時,請問:兩次補水之間相隔多長時間?每次補水需要多長時間?
(2)能否找到適當?shù)膍值,使得兩次補水的間隔時間和每次的補水時間一樣長?如果能,請求出m值;如果不能,請你分析兩次補水的間隔時間和每次的補水時間之間的數(shù)量關(guān)系,并表示出來.

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