Question

如圖，△ABC和△DCE都是等邊三角形，且B、C、E在一直線上．
（1）求證：△ACE≌△BCD；
（2）若M、N分別為BD和AE的中點(diǎn)，求證：CM=CN．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）由△ABC和△DCE都是等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到AB=AC=BC，DC=CE=DE，∠ACB=∠DCE=60°，利用等式的性質(zhì)得到一對(duì)夾角相等，利用SAS即可得證；
（2）由△ACE≌△BCD，得到AE=DB，且∠MDC=∠NEC，根據(jù)M、N分別為中點(diǎn)得到DM=NE，利用SAS得到△DMC≌△ENC，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得證．

解答：證明：（1）∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，
∴AB=AC=BC，DC=CE=DE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠DCB=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，

DC=CE ∠DCB=∠ACE CB=CA

，
∴△BCD≌△ACE（SAS）；

（2）連接CM，CN，
∵△BCD≌△ACE，
∴BD=AE，∠MDC=∠NEC，
∵M(jìn)、N分別為BD、AE中點(diǎn)，
∴DM=EN，
在△DMC和△ENC中，

MD=NE ∠MDC=∠NEC DC=EC

，
∴△DMC≌△ENC（SAS），
∴MC=NC．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．