Question

【題目】如圖，將口ABCD的邊DC延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使CE=DC，連接AE，交BC于點(diǎn)F．

（1）求證：△ABF≌△ECF

（2）若∠AFC=2∠D，連接AC、BE．求證：四邊形ABEC是矩形．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析．

【解析】試題分析：（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，CE=DC，易證得∠ABF=∠ECF，∠AFB=∠EFC，AB=EC，則可證得△ABF≌△ECF；

（2）由△ABF≌△ECF，∠AFC=2∠ABC，即可證得∠ABC=∠BAF，繼而證得AE=BC，又由AD=BC，則可得AE=AD，再利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AC⊥ED，進(jìn)而可得結(jié)論．

試題解析：證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，AB=CD．

∵EC=DC，

∴AB=EC，

在△ABF和△ECF中，

∠ABF=∠ECF，∠AFB=∠EFC，AB=EC，

∴△ABF≌△ECF（AAS）；

（2）∵△ABF≌△ECF，

∴AF=FE，BF=FC．

∵∠AFC=2∠ABC，

又∵∠AFC=∠ABC+∠BAF，

∴∠ABC=∠BAF．

∴AF=BF．

∴AE=BC，

又∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AD=BC．

∴AE=AD．

∵CE=DC，

∴AC⊥ED，

∴四邊形ABEC是矩形．