Question

【題目】對于平面直角坐標系xOy中的點P和圖形G，給出如下定義：將點P沿向右或向上的方向平移一次，平移距離為d（d＞0）個長度單位，平移后的點記為P′，若點P′在圖形G上，則稱點P為圖形G的“達成點”．特別地，當點P在圖形G上時，點P是圖形G的“達成點”．例如，點P（﹣1，0）是直線y＝x的“達成點”．

已知⊙O的半徑為1，直線l：y＝﹣x+b．

（1）當b＝﹣3時，

①在O（0，0），A（﹣4，1），B（﹣4，﹣1）三點中，是直線l的“達成點”的是：_____；

②若直線l上的點M（m，n）是⊙O的“達成點”，求m的取值范圍；

（2）點P在直線l上，且點P是⊙O的“達成點”．若所有滿足條件的點P構(gòu)成一條長度不為0的線段，請直接寫出b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①A，B；②﹣4≤m≤﹣2或﹣1≤m≤1；（2）﹣2≤b＜．

【解析】

（1）①根據(jù)“達成點”的定義即可解決問題．

②過點（0，1）和點（0，﹣1）作x軸的平行線分別交直線l于M1，M2，過點（1，0）和點（﹣1，0）作y軸的平行線分別交直線l于M3，M4，由此即可判斷．

（2）當M2與M3重合，坐標為（﹣1，﹣1）時，﹣1＝1+b，可得b＝﹣2；當直線l與⊙O相切時，設切點為E，交y軸于F，求出點E的坐標，即可判斷．

（1）①∵b＝﹣3時，直線l：y＝﹣x﹣3，

∴直線l與x軸的交點為：（﹣3，0），直線l與y軸的交點為：（0，﹣3），

∴O（0，0）在直線l的上方，

∴O（0，0）不是直線l的“達成點”，

∵當x＝﹣4時，y＝4﹣3＝1，

∴點A（﹣4，1）在直線l上，

∴點A是直線l的“達成點”，

∵點B（﹣4，﹣1）在直線l的下方，把點B（﹣4，﹣1）向上平移2個長度單位為（﹣4，1），

∴點B是直線l的“達成點”，

故答案為：A，B；

②設直線l：y＝﹣x﹣3，分別與直線y＝1、y＝﹣1、x＝﹣1、x＝1依次交于點M1、M2、M3、M4，如圖1所示：

則點M1，M2，M3，M4的橫坐標分別為﹣4、﹣2、﹣1、1，

線段M1M2上的點向右的方向平移與⊙O能相交，線段M3M4上的點向上的方向平移與⊙O能相交，

∴線段M1M2和線段M3M4上的點是⊙O的“達成點”，

∴m的取值范圍是﹣4≤m≤﹣2或﹣1≤m≤1；

（2）如圖2所示：

當M2與M3重合，坐標為（﹣1，﹣1）時，﹣1＝1+b，∴b＝﹣2；

②當直線l與⊙O相切時，設切點為E，交y軸于F．

由題意，在Rt△OEF中，∠OEF＝90°，OE＝1，∠EOF＝45°，

∴△OEF是等腰直角三角形，

∴OF＝OE＝；

觀察圖象可知滿足條件的b的值為﹣2≤b＜．