【題目】(已知:如圖所示的一張矩形紙片ABCDAD>AB),將紙片折疊一次,使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合,再展開,折痕EFAD邊于點(diǎn)E,交BC邊于點(diǎn)F,分別連結(jié)AFCE

1)求證:四邊形AFCE是菱形;

2)若AE=10cm,△ABF的面積為24cm2,求△ABF的周長;

3)在線段AC上是否存在一點(diǎn)P,使得2AE2=AC·AP?若存在,請說明點(diǎn)P的位置,并予以證明;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)證明見解析;(224cm;(3)存在,過EEP⊥ADACP,則P就是所求的點(diǎn),證明見解析.

【解析】

(1)由四邊形ABCD是矩形與折疊的性質(zhì),易證得△AOE≌△COF,即可得AE=CF,則可證得四邊形AFCE是平行四邊形,又由AC⊥EF,則可證得四邊形AFCE是菱形;

(2)由已知可得:S△ABF=ABBF=24cm2,則可得AB2+BF2=AB+BF2-2ABBF=AB+BF2-2×48=AF2=100cm2),則可求得AB+BF的值,繼而求得△ABF的周長.

(3)EEP⊥ADACP,則P就是所求的點(diǎn),首先證明四邊形AFCE是菱形,然后根據(jù)題干條件證明△AOE∽△AEP,列出關(guān)系式.

解:(1四邊形ABCD是矩形,

∴AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO

由折疊的性質(zhì)可得:OA=OC,AC⊥EF

△AOE△COF中,

,

∴△AOE≌△COFASA),

∴AE=CF,

四邊形AFCE是平行四邊形,

∵AC⊥EF,

四邊形AFCE是菱形;

2四邊形AFCE是菱形,

∴AF=AE=10cm,

四邊形ABCD是矩形,

∴∠B=90°,

∴S△ABF=ABBF=24cm2,

∴ABBF=48cm2),

∴AB2+BF2=AB+BF2-2ABBF=AB+BF2-2×48=AF2=100cm2),

∴AB+BF=14cm

∴△ABF的周長為:AB+BF+AF=14+10=24cm).

3)證明:過EEP⊥ADACP,則P就是所求的點(diǎn).

當(dāng)頂點(diǎn)AC重合時,折痕EF垂直平分AC,

∴OA=OC∠AOE=∠COF=90°,

在平行四邊形ABCD中,AD∥BC,

∴∠EAO=∠FCO,

∴△AOE≌△COF,

∴OE=OF

四邊形AFCE是菱形.

∴∠AOE=90°,又∠EAO=∠EAP,

由作法得∠AEP=90°,

∴△AOE∽△AEP,

,則AE2=AOAP,

四邊形AFCE是菱形,

∴AOAC,

∴AE2=ACAP,

∴2AE2=ACAP

練習(xí)冊系列答案
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AE=BFAEBF;sinBQP=S四邊形ECFG=2SBGE

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已知⊙O的半徑為1,直線ly=﹣x+b

1)當(dāng)b=﹣3時,

①在O00),A(﹣41),B(﹣4,﹣1)三點(diǎn)中,是直線l達(dá)成點(diǎn)的是:_____

②若直線l上的點(diǎn)Mm,n)是⊙O達(dá)成點(diǎn),求m的取值范圍;

2)點(diǎn)P在直線l上,且點(diǎn)P是⊙O達(dá)成點(diǎn).若所有滿足條件的點(diǎn)P構(gòu)成一條長度不為0的線段,請直接寫出b的取值范圍.

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類別

頻數(shù)(人數(shù))

頻率

小說

0.5

戲劇

4

散文

10

0.25

其他

6

合計(jì)

1

根據(jù)圖表提供的信息,解答下列問題:

(1)八年級一班有多少名學(xué)生?

(2)請補(bǔ)全頻數(shù)分布表,并求出扇形統(tǒng)計(jì)圖中“其他”類所占的百分比;

(3)在調(diào)查問卷中,甲、乙、丙、丁四位同學(xué)選擇了“戲劇”類,現(xiàn)從以上四位同學(xué)中任意選出2名同學(xué)參加學(xué)校的戲劇興趣小組,請用畫樹狀圖或列表法的方法,求選取的2人恰好是乙和丙的概率.

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(2)王師傅在噴水池內(nèi)維修設(shè)備期間,噴水管意外噴水,為了不被淋濕,身高1.8米的王師傅站立時必須在離水池中心多少米以內(nèi)?

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