Question

【題目】已知函數(shù)y=mx2﹣（2m﹣5）x+m﹣2的圖象與x軸有兩個公共點.
（1）求m的取值范圍，并寫出當m取范圍內(nèi)最大整數(shù)時函數(shù)的解析式；
（2）題（1）中求得的函數(shù)記為C1 ，
①當n≤x≤﹣1時，y的取值范圍是1≤y≤﹣3n，求n的值；
②函數(shù)C2：y=m（x﹣h）2+k的圖象由函數(shù)C1的圖象平移得到，其頂點P落在以原點為圓心，半徑為 的圓內(nèi)或圓上，設(shè)函數(shù)C1的圖象頂點為M，求點P與點M距離最大時函數(shù)C2的解析式.

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵函數(shù)圖象與x軸有兩個交點，

∴m≠0且[﹣（2m﹣5）]2﹣4m（m﹣2）＞0，

解得：m＜ 且m≠0.

∵m為符合條件的最大整數(shù)，

∴m=2.

∴函數(shù)的解析式為y=2x2+x.

（2）

解：①拋物線的對稱軸為x=﹣ =﹣ .

∵n≤x≤﹣1＜﹣ ，a=2＞0，

∴當n≤x≤﹣1時，y隨x的增大而減小.

∴當x=n時，y=﹣3n.

∴2n2+n=﹣3n，解得n=﹣2或n=0（舍去）.

∴n的值為﹣2.

②∵y=2x2+x=2（x+ ）2﹣ ，

∴M（﹣ ，﹣ ）.

如圖所示：

當點P在OM與⊙O的交點處時，PM有最大值.

設(shè)直線OM的解析式為y=kx，將點M的坐標代入得：﹣ k=﹣ ，解得：k= .

∴OM的解析式為y= x.

設(shè)點P的坐標為（x， x）.

由兩點間的距離公式可知：OP= =5，

解得：x=2或x=﹣2（舍去）.

∴點P的坐標為（2，1）.

∴當點P與點M距離最大時函數(shù)C2的解析式為y=2（x﹣2）2+1.

【解析】（1）函數(shù)圖形與x軸有兩個公共點，則該函數(shù)為二次函數(shù)且△＞0，故此可得到關(guān)于m的不等式組，從而可求得m的取值范圍；（2）先求得拋物線的對稱軸，當n≤x≤﹣1時，函數(shù)圖象位于對稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而減小，當當x=n時，y有最大值﹣3n，然后將x=n，y=﹣3n代入求解即可；（3）先求得點M的坐標，然后再求得當MP經(jīng)過圓心時，PM有最大值，故此可求得點P的坐標，從而可得到函數(shù)C2的解析式.
【考點精析】利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減�。�