Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，矩OABC的位置如圖所示，點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為（10，0），（0，8），點(diǎn)P是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△OAP沿AP翻折得到：△O′AP，直線BC與直線O′P交于點(diǎn)E，與直線O′A交于點(diǎn)F．

（1）當(dāng)O′落在直線BC上時(shí)，求折痕AP的長(zhǎng)．
（2）當(dāng)點(diǎn)P在y軸正半軸上時(shí)，若△PCE與△POA相似，求直線AP的解析式；
（3）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，使得 ？若存在，求點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：圖1，當(dāng)O′落在直線BC上時(shí)，在RT△ABO′中，∵AO′=10，AB=8，

∴BO′= = =6，

∵△APO′是由△AOP翻折，

∴可以設(shè)PO=PO′=x，

在RT△PCO′中，∵PO′2=PC2+CO′2，

∴x2=（8﹣x）2+42，

∴x=5，

∴AP= = =5

（2）

解：當(dāng)∠CPE=∠APO時(shí)，

∵∠CPE=∠APO=∠APO′=60°，

∴OP= OA= ，

設(shè)直線AP為y=kx+b，由題意 解得 ，

∴直線AP為y=﹣ x+ ．

當(dāng)∠CPE=∠OAP時(shí)，∠CEP=∠APO=∠APO′，此時(shí)AP∥EC，顯然不可能

（3）

解：情形1如圖2中，

∵CE= BC=2，

∴BE=8，AE= =8 ，EO′= =2 ，

設(shè)OP=x，在RT△PCE中，∵PE2=PC2+CE2，

∴（x﹣2 ）2=（8﹣x）2+22，

∴x= ，此時(shí)P[0， ]，

情形2如圖3中，

同理O′E=2 ，

設(shè)OP=x，在RT△PCE中，∵PE2=PC2+CE2，

∴（x+2 ）2=（8﹣x）2+22，

∴x= ，此時(shí)P[0， ]，

情形3如圖4中，

AE= = =4 ，

EO′= =6 ，

設(shè)OP=x，在RT△PCE中，∵PE2=PC2+CE2，

∴（6 ﹣x）2=（x﹣8）2+22，

∴x= ，此時(shí)P[0， ]，

情形4如圖5中，

設(shè)OP=x，在RT△PCE中，∵PE2=PC2+CE2，

∴（6 ﹣x）2=（x+8）2+22，

∴x= ，此時(shí)P[0， ]．

【解析】（1）先在RT△ABO′求出BO′，設(shè)PO=PO′=x，在RT△PCO′中利用勾股定理解決即可．（2）當(dāng)∠CPE=∠APO時(shí)得∠CPE=∠APO=∠APO′=60°求出OP= OA即可．當(dāng)∠CPE=∠OAP時(shí)，∠CEP=∠APO=∠APO′，此時(shí)AP∥EC，顯然不可能．（3）分四種情形討論，在RT△PCE中利用E2=PC2+CE2列出方程求解 ．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解相似三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形．