Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠BAD=90°，過(guò)C作CE⊥AD垂足為E，且∠EDC=∠BDC.

（1）求證:CE是⊙O的切線；

（2）若DE+CE=4，AB=6，求BD的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）BD=10.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)已知條件易證∠OCE=90°，即可判定CE是⊙O的切線；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AE，垂足為F，即可得四邊形OFEC為矩形，先求得OF的長(zhǎng)，即可得CE的長(zhǎng)，在Rt△EDC中，根據(jù)勾股定理可求得CD的長(zhǎng)，再判定△EDC∽△CDB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得BD的長(zhǎng).

試題解析：

（1）∵OC=OD，

∴∠ODC=∠OCD；

∵CE⊥AD，

∴∠ECD+∠CDE=90°，

∵∠EDC=∠BDC，

∴∠ECD+∠OCD=90°，

∴∠OCE=90°，

∴CE是⊙O的切線；

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AE，垂足為F，即可得四邊形OFEC為矩形，

∵∠BAD=90°，

∴BD為直徑，

∴∠BCD=90°，

∵OF⊥AE，

∴AF=DF，

∵OB=OD，AB=6，

∴OF=3.

∵四邊形OFEC為矩形，

∴EC=OF=3，

∵DE+CE=4，

∴ED=1.

在Rt△EDC中，根據(jù)勾股定理可求得CD=，

∵∠DEC=∠BCD=90°，∠EDC=∠BDC

∴△EDC∽△CDB，

∴，

∴，

解得BD=10.