【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線 y=ax2﹣5ax+c x 軸于點 A,點 A 的坐標為(4,0).

(1)用含 a 的代數(shù)式表示 c

(2) a時,求 x 為何值時 y 取得最小值,并求出 y 的最小值.

(3) a時,求 0≤x≤6 y 的取值范圍.

(4)已知點 B 的坐標為(0,3),當拋物線的頂點落在△AOB 外接圓內(nèi)部時,直接寫出 a的取值范圍.

【答案】(1)c=4a;(2)當 x時,y 取得最小值,最小值為﹣;(3)當 0≤x≤6 時,y 的取值范圍是﹣5≤y;(4)-a<﹣+ a≠0.

【解析】

(1)由拋物線和x軸的交點A的坐標代入即可求出

(2)已知a的值可求出c的值,從而可以求出拋物線的解析式;再把拋物線的解析式用配方法表示出來,根據(jù)拋物線的性質(zhì)特點求出

(3)已知a的值求出b,從而求出拋物線的解析式;把拋物線用配方法表示出來根據(jù)其性質(zhì)可求出y的取值范圍

(4)把拋物線的解析式用配方法表示出來求出其對稱軸和定點坐標,根據(jù)題意作出圓在進行分析解答

(1) A(4,0)代入 yax2﹣5ax+c,得:16a﹣20a+c=0,解得:c=4a

(2)當 a時,c=2,

拋物線的解析式為 y x2 x+2=x2

a>0,

x時,y 取得最小值,最小值為﹣

(3)當 a=﹣時,c=﹣2,

拋物線的解析式為 y=﹣x2+ x﹣2=﹣x2+

a=﹣ <0,

x 時,y 取得最大值,最大值為 ; x=0 時,y=﹣2;

x=6 時,y=﹣×62+ ×6﹣2=﹣5.

0≤x≤6 時,y 的取值范圍是﹣5≤y

(4)∵拋物線的解析式為 yax2﹣5ax+4aax2a

拋物線的對稱軸為直線 x ,頂點坐標為 ,﹣a).

設線段 AB 的中點為 O,以 AB 為直徑作圓,設拋物線對稱軸與O 交于點 C,D,過點 O

OHCD 于點 H,如圖所示.

A 的坐標為(4,0),點 B 的坐標(0,3),

AB=5, O 的坐標為(2,), H 的坐標為). Rt△COH 中,

OCABOH,

CH,

C 的坐標為(,).

同理 D 的坐標為,﹣),

,

解得:﹣- a<﹣+ a≠0.

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