Question

【題目】如圖，在中，，以為直徑的⊙分別交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，連接，交于點(diǎn).

（1）求證：是⊙的切線;

（2）若⊙的半徑為4，①當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)(結(jié)果保留π)；②當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①的長(zhǎng)＝；②AF＝．

【解析】

（1）根據(jù)同圓的半徑相等和等邊對(duì)等角證明：∠ODB＝∠OBD＝∠ACB，則DH⊥OD，DH是圓O的切線；

（2）①根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)的∠EAF＝∠EAF，設(shè)∠B＝∠C＝α，得到∠EAF＝∠EFA＝2α，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠B＝36°，求得∠AOD＝72°，根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可得到結(jié)論；

②連接AD，根據(jù)圓周角定理得到∠ADB＝∠ADC＝90°，解直角三角形得到AD＝，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AH＝3，于是得到結(jié)論．

（1）連接OD，如圖，

∵OB＝OD，

∴△ODB是等腰三角形，

∠OBD＝∠ODB①，

在△ABC中，∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB②，

由①②得：∠ODB＝∠OBD＝∠ACB，

∴OD∥AC，

∵DH⊥AC，

∴DH⊥OD，

∴DH是圓O的切線；

（2）①∵AE＝EF，

∴∠EAF＝∠EAF，

設(shè)∠B＝∠C＝α，

∴∠EAF＝∠EFA＝2α，

∵∠E＝∠B＝α，

∴α+2α+2α＝180°，

∴α＝36°，

∴∠B＝36°，

∴∠AOD＝72°，

∴的長(zhǎng)＝；

②連接AD，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°，

∵⊙O的半徑為4，

∴AB＝AC＝8，

∵，

∴，

∴AD＝2，

∵AD⊥BC，DH⊥AC，

∴△ADH∽△ACD，

∴，

∴，

∴AH＝3，

∴CH＝5，

∵∠B＝∠C，∠E＝∠B，

∴∠E＝∠C，

∴DE＝DC，∵DH⊥AC，

∴EH＝CH＝5，

∴AE＝2，

∵OD∥AC，

∴∠EAF＝∠FOD，∠E＝∠FDO，

∴△AEF∽△ODF，

∴,

∴，

∴AF＝．