【題目】如圖,在中,,以為直徑作,點(diǎn)D在上,,,垂足為點(diǎn)E,與和分別交于點(diǎn)M、F.連接、、.
(1)證明:是的切線;
(2)若,,求的半徑長(zhǎng);
(3)在(2)的條件下,求的長(zhǎng).
【答案】(1)證明見詳解;(2)5;(3)2
【解析】
(1)易證BCOBDO,可得:∠BDO=∠BCO=90°,即:OD⊥BD,即可得證;
(2)由,得AE:ME:AM=1:2:,即AE=2,ME=4,連接CM,由tan∠ACM= tan∠AME=,可得:CM=,根據(jù)勾股定理得AC的長(zhǎng),即可得到結(jié)論;
(3)過(guò)點(diǎn)B作BN∥AC,交MD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,設(shè)EF=x,由AEF~BNF,得NF=4x,從而得BC=NE=5x,BD=BC=5x,DN=NE-DE=5x-4,根據(jù)勾股定理,求出x的值,進(jìn)而得到答案.
(1)在BCO和BDO中,
∵
∴BCOBDO(SSS),
∴∠BDO=∠BCO=90°,即:OD⊥BD,
∴是的切線;
(2)∵,
∴DE=ME,
∴AM=,
∵,
∴AE:ME:AM=1:2:,
∴AE=2,ME=4,
連接CM,則∠AMC=90°,
∵∠AME+∠CME=90°,
∠CME+∠ACM=90°,
∴∠AME=∠ACM,
∴tan∠ACM= tan∠AME=,
∴CM=2AM=2×=,
∴AC=,
∴的半徑長(zhǎng)是:5.
(3)過(guò)點(diǎn)B作BN∥AC,交MD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,
由(2)題可知:AE=2,EC=8,DE=ME=4,
∵四邊形ECBN是矩形,
∴BN=EC=8,
設(shè)EF=x,
∵BN∥AC,
∴AEF~BNF,
∴,即:,
∴NF=4x,
∴BC=NE=5x,
∴BD=BC=5x,DN=NE-DE=5x-4,
∵在RtBND中,,
∴,解得:x=2,
∴DF=DE-EF=4-2=2,
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AB=AD=6,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=60°,點(diǎn)M、N分別在AB、AD邊上,若AM:MB=AN:ND=1:2.則∠BCD= °,cos∠MCN= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,如圖,在矩形ABCD中,AB=8,BC=x(0<x≤8),點(diǎn)E在邊CD上,且CE=CB,以AE為對(duì)角線作正方形AGEF.設(shè)正方形AGEF的面積y.
(1)當(dāng)點(diǎn)F在矩形ABCD的邊上時(shí),x= .
(2)求y與x的函數(shù)關(guān)系式及y的取值范圍.
(3)當(dāng)矩形ABCD的一條邊將正方形AGEF的面積分為1:3兩部分時(shí),直接寫出x的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線L:y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A、B兩點(diǎn).與y軸交于C點(diǎn).且A(﹣1,0),OB=OC=3OA.
(1)求拋物線L的函數(shù)表達(dá)式;
(2)在拋物線L的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M,使△ACM周長(zhǎng)最?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)連接AC、BC,在拋物線L上是否存在一點(diǎn)N,使S△ABC=2S△OCN?若存在,求出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在ABCD中,∠BAD的平分線交直線BC于點(diǎn)E,交直線DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,以EC、CF為鄰邊作ECFG.
(1)如圖1,證明ECFG為菱形;
(2)如圖2,若∠ABC=120°,連接BG、CG,并求出∠BDG的度數(shù):
(3)如圖3,若∠ABC=90°,AB=6,AD=8,M是EF的中點(diǎn),求DM的長(zhǎng).
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【題目】深圳國(guó)際馬拉松賽事設(shè)有A“全程馬拉松”,B“半程馬拉松”,C“嘉年華馬拉松”三個(gè)項(xiàng)目,小智和小慧參加了該賽事的志愿者服務(wù)工作,組委會(huì)將志愿者隨機(jī)分配到三個(gè)項(xiàng)目組.
(1)小智被分配到A“全程馬拉松”項(xiàng)目組的概率為 .
(2)用樹狀圖或列表法求小智和小慧被分到同一個(gè)項(xiàng)目標(biāo)組進(jìn)行志愿服務(wù)的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,將點(diǎn)定義為點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”. 已知點(diǎn)在函數(shù)的圖像上,將點(diǎn)A的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”記為點(diǎn).
(1)請(qǐng)?jiān)谌鐖D基礎(chǔ)上畫出函數(shù)的圖像,簡(jiǎn)要說(shuō)明畫圖方法;
(2)如果點(diǎn)在函數(shù)的圖像上,求點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)將點(diǎn)稱為點(diǎn)的“待定關(guān)聯(lián)點(diǎn)”(其中),如果點(diǎn)的“待定關(guān)聯(lián)點(diǎn)”在函數(shù)的圖像上,試用含的代數(shù)式表示點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將兩塊斜邊長(zhǎng)相等的等腰直角三角板按如圖①擺放,斜邊AB分別交CD,CE于M,N點(diǎn).
(1)如果把圖①中的△BCN繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACF,連接FM,如圖②,求證:△CMF≌△CMN;
(2)將△CED繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn),則:
①當(dāng)點(diǎn)M,N在AB上(不與點(diǎn)A,B重合)時(shí),線段AM,MN,NB之間有一個(gè)不變的關(guān)系式,請(qǐng)你寫出這個(gè)關(guān)系式,并說(shuō)明理由;
②當(dāng)點(diǎn)M在AB上,點(diǎn)N在AB的延長(zhǎng)線上(如圖③)時(shí),①中的關(guān)系式是否仍然成立?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,B是的半徑OA上的一點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合),過(guò)點(diǎn)B作OA的垂線交于點(diǎn)C,D,連接OD,E是上一點(diǎn),,過(guò)點(diǎn)C作的切線l,連接OE并延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)F.
(1)①依題意補(bǔ)全圖形.
②求證:∠OFC=∠ODC.
(2)連接FB,若B是OA的中點(diǎn),的半徑是4,求FB的長(zhǎng).
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