【題目】在ABCD中,∠BAD的平分線交直線BC于點E,交直線DC的延長線于點F,以EC、CF為鄰邊作ECFG.
(1)如圖1,證明ECFG為菱形;
(2)如圖2,若∠ABC=120°,連接BG、CG,并求出∠BDG的度數(shù):
(3)如圖3,若∠ABC=90°,AB=6,AD=8,M是EF的中點,求DM的長.
【答案】(1)見解析;(2)∠BDG=60°;(3)DM=5
【解析】
(1)平行四邊形的性質(zhì)可得AD∥BC,AB∥CD,再根據(jù)平行線的性質(zhì)證明∠CEF=∠CFE,根據(jù)等角對等邊可得CE=CF,再有條件四邊形ECFG是平行四邊形,可得四邊形ECFG為菱形,即可解決問題;
(2)先判斷出∠BEG=120°=∠DCG,再判斷出AB=BE,進而得出BE=CD,即可判斷出△BEG≌△DCG(SAS),再判斷出∠CGE=60°,進而得出△BDG是等邊三角形,即可得出結(jié)論;
(3)連接BM,MC,結(jié)合題意,根據(jù)矩形的判定得到四邊形ABCD和四邊形ECFG為正方形.因為∠BAF=∠DAF,則BE=AB=DC,因為M為EF中點,所以∠CEM=∠ECM=45°,故∠BEM=∠DCM=135°,根據(jù)全等三角形的判定(SAS)得到△BME≌△DMC,則由全等三角形的性質(zhì)可得MB=MD,∠DMC=∠BME.結(jié)合題意得到等腰直角三角形.根據(jù)勾股定理得到BD=10,故DM=5.
(1)證明:
∵AF平分∠BAD,
∴∠BAF=∠DAF,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD∥BC,AB∥CD,
∴∠DAF=∠CEF,∠BAF=∠CFE,
∴∠CEF=∠CFE,
∴CE=CF,
又∵四邊形ECFG是平行四邊形,
∴四邊形ECFG為菱形;
(2)結(jié)論:∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AB∥DC,AB=DC,AD∥BC,
∵∠ABC=120°,
∴∠BCD=60°,∠BCF=120°
由(1)知,四邊形CEGF是菱形,
∴CE=GE,∠BCG=∠BCF=60°,
∴CG=GE=CE,∠DCG=120°,
∵EG∥DF,
∴∠BEG=120°=∠DCG,
∵AE是∠BAD的平分線,
∴∠DAE=∠BAE,
∵AD∥BC,
∴∠DAE=∠AEB,
∴∠BAE=∠AEB,
∴AB=BE,
∴BE=CD,
∴△BEG≌△DCG(SAS),
∴BG=DG,∠BGE=∠DGC,
∴∠BGD=∠CGE,
∵CG=GE=CE,
∴△CEG是等邊三角形,
∴∠CGE=60°,
∴∠BGD=60°,
∵BG=DG,
∴△BDG是等邊三角形,
∴∠BDG=60°;
(3)如圖2中,連接BM,MC,
∵∠ABC=90°,四邊形ABCD是平行四邊形,
∴四邊形ABCD是矩形,
又由(1)可知四邊形ECFG為菱形,
∠ECF=90°,
∴四邊形ECFG為正方形.
∵∠BAF=∠DAF,
∴BE=AB=DC,
∵M為EF中點,
∴∠CEM=∠ECM=45°,
∴∠BEM=∠DCM=135°,
在△BME和△DMC中,
∵BE=CD,∠BEM=∠DCM,EM=CM,
∴△BME≌△DMC(SAS),
∴MB=MD,
∠DMC=∠BME.
∴∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°,
∴△BMD是等腰直角三角形.
∵AB=6,AD=8,則BD==10,∴DM=5.
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【題目】如圖,一次函數(shù)y=kx+b(k,b為常數(shù),k≠0)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點,且與x軸交于點C,與y軸交于點D,A點的橫坐標與B點的縱坐標都是3.
(1)求一次函數(shù)的表達式;
(2)求△AOB的面積;
(3)寫出不等式kx+b>﹣的解集.
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【題目】四張大小、形狀都相同的卡片上分別寫有數(shù)字1,2,3,4,把它們放入不透明的盒子中搖勻.
(1)從中隨機抽出1張卡片,抽出的卡片上的數(shù)字恰好是偶數(shù)的概率為 .
(2)從中隨機抽出1張卡片,記錄數(shù)字后放回搖勻,再抽出一張卡片,記錄數(shù)字.用樹狀圖或列表法求兩次抽出的卡片上的數(shù)字恰好是兩個相鄰整數(shù)的概率.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,O為坐標原點,點A(3,0),B(3,4).
(1)畫出△AOB繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到的△A'OB',并寫出點A',B'的坐標;
(2)求線段AB在上述旋轉(zhuǎn)過程中掃過的區(qū)域面積.
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【題目】如圖,菱形ABCD的邊長是6,∠A=60°,E是AD的中點,F是AB邊上一個動點,EG=EF且∠GEF=60°,則GB+GC的最小值是_____
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【題目】如圖,在中,,以為直徑作,點D在上,,,垂足為點E,與和分別交于點M、F.連接、、.
(1)證明:是的切線;
(2)若,,求的半徑長;
(3)在(2)的條件下,求的長.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,菱形ABCD的頂點C與原點O重合,點B在y軸的正半軸上,點A在反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象上,點D的坐標為(4,3).
(1)求k的值;
(2)將這個菱形沿x軸正方向平移,當頂點D落在反比例函數(shù)圖象上時,求菱形平移的距離.
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【題目】如圖1,在矩形ABCD中,P為CD邊上一點(DP<CP),∠APB=90°.將△ADP沿AP翻折得到△AD′P,PD′的延長線交邊AB于點M,過點B作BN∥MP交DC于點N.
(1)求證:AD2=DPPC;
(2)請判斷四邊形PMBN的形狀,并說明理由;
(3)如圖2,連接AC,分別交PM,PB于點E,F(xiàn).若=,求的值.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A,B(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C,頂點為P.
(1)直接寫出點A,C,P的坐標.
(2)畫出這個函數(shù)的圖象.
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